浅析自变量与参数

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1、浅析自变量与参数--------自变量方式不同，参数值范围互异？摘要：本文探讨函数自变量取值不同，会对许多与函数相关问题中的参数产生较大的影响。试图对自变量的研究及作用引起足够的重视，避免不必要的失误。关键词：定义域互异，参数值不一定不同；自变量取值方式不同，函数相关问题中参数值也不一定互异。自变量方式清楚，参数值范围正确。正文：自变量取值范围称之为定义域，它与函数的对应关系、值域构成函数的三要素。许多数学问题研讨时，首先要思考函数的定义域，称其为函数的定义域优先。定义域既有大小、方式的限制，又有数学问题中隐含条件的要求。不少含有参数的函数问题中，自变量的取

2、值情况可对相关参数产生不可忽视的影响，但不可一概而论。若轻视自变量作用，则许多问题的求解就会产生漏洞，发生错误。例1、已知A=，B=，若AB=B，求的取值范围。分析：这是一个以集合为载体的函数与不等式的综合问题。集合A即函数的定义域，集合B为含有参数的不等式解集。由AB=B可求的范围。解析：由知1或，A=1或又AB=B知BA，如图x01-3-2-123-1AABx0a-3-2-12321）当2时，B=∅，显然有AB；2）当2时，1即12时，AB。综上可知，的取值范围为即例2、已知A=，，B=，若AB=B，求的取值范围。分析：显然与例1相比，函数的定义域发生变

3、化，只取整数，当然参数的取值范围也相应的变小了，易得，即。若不注意函数定义域变化，极易得出与例1相同答案。例3、已知㏑+3+（1）当时，成立，求的取值范围；（1）当时，成立，求的取值范围；（2）当时，有解，求的取值范围；（3）当时，有解，求的取值范围；分析：显然，该问题属恒成立问题，函数定义域为，且函数在上为增函数。由单调性与恒成立结论可求的取值范围。解析：（1）函数㏑+3+的定义域为，且函数在上单调递增，则时，成立的等价条件为当时，。显然==3+，3+即，的取值范围为（2）同（1），时，成立的充要条件为，当时，。显然，==1+3，则1+3即，的取值范围为（

4、3）同（1），时，有解的充要条件为时。显然，==1+3，1+3即，的取值范围为（4）同（3），时，成立的等价条件为时，。显然，=，即，的取值范围为评析：显然，随函数㏑+3+自变量取值不同类似问题中，参数的取值互异。例4、已知（1）当时，有零点，求的取值范围；（2）当时，有零点，求的取值范围。分析：这是一个含参数的函数零点问题，应用二次函数的性质及零点的存在定理即可求解。解析：（1）函数的开口方向向上，对称轴为，在上为增函数，且。由零点存在定理依题可列不等式组且即且，解得，的取值范围为（2）设，则，由，知即，则，显然函数的图像开口方向向上，对称轴为，函数在上为

5、增函数，有参数存在定理可知且即且，解得，的取值范围为评析：与实际上为两个函数，形式上尽管相同，但对前者是的外层函数定义域，而对后者则是即复合函数的定义域。对对应法则而言，定义域是不同的。但该问题中参数取值范围都是相同的，而与两不等式的解是不同的。例5、已知两个函数，，其中为实数。（1）若对于任意的，都有成立，求的取值范围；（2）若对任意，，都有成立，求的取值范围。分析：显然这是一个恒成立问题，应转化为函数的最值来处理。函数这类问题有两种类型，其一、函数最值可求出，则应用恒成立或恒成立即可；其二、若所给不等式经恒等变形使主元与参数分离不等式两边，使问题转化为求

6、主元最值从而求出参数范围，则应用（为参数）恒成立或恒成立即可。本题为求函数最值，可运用导数法。解析：（1）设，在上恒成立对任意上都有成立，则解即可。，令即=0，可知或。时；时，；时，即函数在、上为增函数，在上为减函数。在处取得极大值；在处取得极小值，又，。综上比较，依题，即实数的取值范围为。（1）若对任意，，都有成立，由为二次函数，开口方向向上，对称轴，以及知；又由知或。时，，为增函数；时，，递减；时，，函数递增。在处取得极大值；在处取得极小值；又，。由此可知，综上，解得，即的取值范围为。评析：本例研究两个函数之间的关系，这两函数各自自变量取值范围尽管相同，

7、均为。但（1）中要求两函数自变量必须取同一值，而（2）中与的自变量可以去不同值。当取时，无论取什么值，都要求即不管=与否，函数关系不变。此处（1）与（2）求解极易混淆，稍不留神，就会出错。如何防错呢，依题画图，应用数形结合的思想方法就可以了，如下图所示对（1）如图①，对（2）如图②两图一描，略加分析就不易出错了。小结：本文研究的结论是明显的，函数是研究客观世界中变量之间的关系，自变量对某函数研究范围有制约作用。好些问题中涉及的参数，其实也是一些变量，不过它受函数的影响。一般当自变量范围及变化方式不同时，参数值不同。但也有些问题中，尽管对应法则相同，自变量不同

8、，但参数范围相同。要保证在研究问题过程中不出错，就必