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《直线与椭圆的位置关系经典解答题题.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、1已知平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为，右顶点为，设点（1）求该椭圆的标准方程；（2）若是椭圆上的动点，求线段的中点的轨迹方程；（3）过原点的直线交椭圆于两点，求面积的最大值，并求此时直线的方程。解：（1）设椭圆的方程为由题意可知：，故所以椭圆的方程为：（2）设，则有：①又因为：②将②代入①得到点的轨迹方程：（3）当直线的斜率不存在时，当斜率存在时，设其方程为：设由不妨设，则设点到直线的距离为，则：=当时，当时，上式当且仅当时，等号成立综上可知，面积的最大值为，此时直线的方程为：2已知中心在原点，左焦点为的椭圆C的左顶点为，
2、上顶点为，到直线的距离为.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若椭圆方程为：（），椭圆方程为：（，且），则称椭圆是椭圆的倍相似椭圆.已知是椭圆C的倍相似椭圆，若椭圆C的任意一条切线交椭圆于两点、，试求弦长的取值范围.解：直线方程为：………………1∴到直线距离为……2分又，………………………………………………3分解得：，………………………………………………4分故：椭圆方程为：.…………………………………………………5分(2)椭圆的倍相似椭圆的方程为：………………………………6分①若切线垂直于轴，则其方程为：，易求得………………7分②若切线不垂直于轴，可设
3、其方程为：将代人椭圆方程，得：∴（*）…8分记、两点的坐标分别为、将代人椭圆方程，得：……………9分此时：，…10分∴…11分∵∴即综合①②,得：弦长的取值范围为.3以椭圆的中心为圆心，以为半径的圆称为该椭圆的“伴随”.已知椭圆的离心率为,且过点．(1)求椭圆及其“伴随”的方程;(2)过点作“伴随”的切线交椭圆于,两点,记为坐标原点)的面积为,将表示为的函数,并求的最大值.(1)椭圆的离心率为,则,设椭圆的方程为……………2分∵椭圆过点，∴，∴，…………….………..4分∴椭圆的标准方程为，椭圆的“伴随”方程为.………..6分(2)由题意知，.
4、易知切线的斜率存在,设切线的方程为由得………..8分设,两点的坐标分别为,,则,.又由与圆相切,所以,.所以……10分,.(当且仅当时取等号)所以当时，的最大值为1.………..12分4已知椭圆：的左、右焦点和短轴的两个端点构成边长为2的正方形．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点的直线与椭圆相交于，两点．点，记直线的斜率分别为，当最大时，求直线的方程．解（Ⅰ）由已知得（2分）又，∴椭圆方程为-------------------4分（Ⅱ）①当直线的斜率为0时，则；---------------6分②当直线的斜率不为0时，设，，直线的方程为，将代入，整
5、理得．则，．---------------------------8分又，，所以，=．--------10分令，则所以当且仅当，即时，取等号．由①②得，直线的方程为．-------------------12分5(本小题满分12分)已知椭圆:的离心率为，左焦点为，过点且斜率为的直线交椭圆于两点．（1）求椭圆的标准方程；（2）求的取值范围；（3）在轴上，是否存在定点，使恒为定值？若存在，求出点的坐标和这个定值；若不存在，说明理由．所以的取值范围是．……5分（3）设，则．又，．……6分设存在点，则，，所以，……8分要使得(为常数)，只要，从而，即…
6、…10分由（1）得，代入（2）解得，从而，故存在定点，使恒为定值．6已知中心在坐标原点的椭圆的一个顶点为,一个焦点为．(1)求椭圆的方程；(2)过点的直线交椭圆于,交轴于,若,且,求证:为定值．解:(1)设椭圆的方程为,则由题知,,故．∴椭圆的方程为．(2)方法一:设点的坐标分别为,又知点为．∵,∴．∴,．将点坐标代到椭圆方程得,故．同理,由可得:．∴,是方程的两个根,∴．方法二:设点的坐标分别为,又易知点的坐标为．显然直线存在斜率,设直线的斜率为,则直线的方程是．联立直线与椭圆的方程并消去得．∴,．………………………………………①又∵,,将各
7、点坐标代入得,．故．………………………………②由①②可得．7已知为坐标原点,过点的直线与椭圆相交于不同的点,求面积的最大值.解:由题意可设直线的方程为,以及点,,则是方程组消去所得方程的两个不等实数根.故有,且,.由题意可知面积.由知,从而可得:.当且仅当(此时的实数满足)时,取得最大值.8设椭圆C:（）的离心率，且过点A(2,0)，O为坐标原点.（1）求椭圆C的方程；（2）若过点M（0，2）的直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，且，求直线l的方程．（1）由题知，解得∴∴椭圆的标准方程为（2）解：①当直线l的斜率不存在时，点A、B共线，不合题意
8、。②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为与椭圆C：联立消去得∵直线l与椭圆C交于不同的两点A、B∴，即，∴①设,，因为，所以，所以即整理得，所以，满
