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1、关节五几何计算方法与作用的归纳当以比单纯逻辑论证宽泛得多的思想和视角来研究儿何图形及其和相关的问题时，“儿何计算”的意义和作用，就被大大地加强了。第一，几何图形的大小及形状、几何图形间的位置关系，在许多时候本来就需要运用相关的数量来表示，无疑地就会涉及到几何量的计算；第二，当我们注重研允图形的动点问题，图形的变换及运动问题，在坐标系里研允图形的一些问题时，就愈是不可避免地要借助几何量的计算；第三，那些基于实际而模型化为几何图形的应用类问题，更是必须依靠几何量的计算来解决。因此，《课标》理念下的几何学
2、习，几何计算的份量加大了，层次提高了。在本关节，我们先将儿何计算的基本方法加以归纳，为而后的应用作好充分准备。一、掌握好几何计算的两种主要方法几何计算的两种主要方法是：I、借助于解直角三角形；II、借助于三角形的相似关系C1、善于用解直角三角形的方法完成几何计算（1）要善于依题情恰当地构造直角三角形例1如图，两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起，R它们的交角为a,则它们重叠（如图中阴影）部分的sinacosa（1、）sinaD、cosa（1、），在菱形ABCD中,ZA=Za,顶点A到直线CD和直线
3、CB的距离都【观察与思考】将原问题抽象为图为1，求菱形ABCD的而积。为此，作丄CD,交CD的延长线于点H,则有S菱形磁°=CDAH=ADAHf其中皿AD=sin^ADH二肖'即务形曲=命解：应选A。例2如图，在RtABC中，ZACB=90°,AC=BC=.将ABC绕点C逆时针旋转30。得到Cd与AB相交于点D。求I3D的长。【观察与思考】注意到ZB=45。,若作DG丄于点G,如图（「）则而CB=1,可得RtADBG中，DG=BG,同时在RtCDG中，ZDCG=30°,ADCB从而可构造关
4、于BD的方程，求得其值。解：如图（D,作DG丄CB于点G,设BD=x,•••Rt^DGB中,ZB=45°,・・・DG=BG=—BD=—x22在RtDCG中,ZDCG=ZB1CB=30°,.••CG"DG"•务弊（1、）•.•CG+BGST即学+¥“1,解得“咛1•••妙的长为耳【说明】通过以上两例可以看出，凡涉及到几何图形中量的计算时,多情况下，就需要恰当地构造出相应的直角三角形。应当首先考虑借助于解直角三角形，而在这许（2）在图形较为复杂的情况下，要善于恰当地将相关数量转化到某直角三角形例3如图
5、，在等腰梯形ABCD中，AB//CD,AD二BC,延长AB到E,使BE二DC,连结CE,若AF丄CE■于点F,CD2且AF平分ZDAE,——二一，求sinZCAF的值。AE5CF【观察与思考】首先，在RtACF中，sinZCAF=——，剩下的任务AC就是去求CF和AC之间的数量关系，如去求出CF用AC表示的代数式。为此，去硏究相应的条件：①由ABCD为等腰梯形，BECD为平行四边形（BE//CD,BE=CD）,可知：AC=BD=EC；E②由4F丄CE知AF丄BD且AF平分ABAD.得AABD是等腰
6、三角形，设AF交BD于点G,则③由BG//EC,知AABGsAAEF,BGAB_AE-BE_AE-CD_t_2_3EF~AE~~AE~~5_5...£F=
7、5G=
8、(1ac)=
9、ac,如此一来,CF=EC-EF=AC--AC=-AF,66当然就有singe竺=^=丄ACAC6例4如图，把一副三角板如图（1）放置，其•!'ZACB=ZDEC=90o9ZA=45°,ZD=30o,斜边AB=6cm,DC=7cm,把三角板DCE绕点C顺时针旋转15°得到氐D‘CE'如图（2）,这时AB与CD相交于点0,DE
10、与AB相交于点F。（1）求ZOFE的度数;（2）求线段AD的长；（3）若把三角形DCE绕着点C顺时针再旋转30°得到△D'CE',这时点B在AD'CE"的内部，外部，还是边上？证明你的判断。D'(2)【观察与思考】对于（1）,如图（2、），设CB与DE相交于点G,则可通过ZOFE与△FGBACGE'内角的关系,求得ZOFE的值;对于（2）,可先推出AAOD'=90°,并导出04,OD的长;（2、）D'对于（3）,设直线CB交ZTE'于B',应在RtAB'CE'^计算出CB'的长，为此为基础进行判断。
11、解：(1)设CB与DE相交于点G,如图(2'),则:ZOFE=ZB+ZFGB=ZB+ZCGE'=ZB+[180°-(ZBCE4ZE)]=45°+[180°-(15。+90°)]=120。。(2)连结AD,•・・ZAOD'=ZOD'F+ZOFD'=ZOD'F+(180°一ZOFE')=30°+(180°一120°)=90°又•/AC=BC,AB=6cm,而ZACO=30°+15°=45°,/.OA=OB=OC=3cm。在RtAOD^fAO=3,OD'=CD-CO=7-
