弹塑性力学第十章.ppt

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1、第十章弹性力学的能量原理§10-1几个基本概念和术语§10-2虚功方程§10-3功的互等定理§10-4虚位移原理和最小势能原理§10-5虚应力原理和最小余能原理§10-6基于能量原理的近似解法9/9/20211第十章弹性力学的能量原理弹性力学的解法之一为弹性力学边值问题求解体系——静力法。在前面各章中就围绕平面问题、扭转问题和空间轴对称问题进行了具体分析和研究。9/9/20212第十章弹性力学的能量原理弹性力学问题的解法还有另一种解法：以能量形来建立弹性力学求解方程——能量法（从数学意义上说也可

2、认为变分法）。本章主要介绍几个基本能量原理以及基于能量原理的近似解法。在介绍能量原理以前，先介绍几个基本概念和术语。9/9/20213§10-1几个基本概念和术语1.1应变能U和应变余能Uc：dijijij应变能U在第四章中已定义过：应变能密度9/9/20214——弹性关系如果将几何关系引入应变能,U、W为位移的函数。应变余能（类似应变能）定义§10-1几个基本概念和术语9/9/20215应变余能密度——单位体积的应变余能Wc与积分路径无关，只与终止状态和初始状态有关。Wc=ij

3、ij为全微分§10-1几个基本概念和术语dijijijdij9/9/20216——逆弹性关系且W+Wc=ijij§10-1几个基本概念和术语dijijijdij9/9/20217但§10-1几个基本概念和术语材料为线弹性时9/9/20218各向同性线性材料的应力应变关系§10-1几个基本概念和术语将几何关系引入上式U=U(ui)应变能是位移的函数9/9/20219代入Uc表达式各向同性线性材料的应力应变关系§10-1几个基本概念和术语9/9/202110§10-1几

4、个基本概念和术语应变能、应变余能的计算举例xolP图示等截面杆，承受轴向荷载P作用。杆截面面积为A,材料应力—应变关系分别为（1）=E，(2)=E1/2.试计算外力功T、应变能U和应变余能Uc。解：（1）=E9/9/202111§10-1几个基本概念和术语xolPT=U=Uc=Pl/2l=Pl/(EA)P=N=lEA/l,U=l2EA/(2l),Uc=P2l/(2EA),（2）=E1/2T=U=9/9/202112§10-1几个基本概念和术语xolPT=U9/9/2021

5、13§10-1几个基本概念和术语xolPUc=Pl–U=Pl-U9/9/202114§10-1几个基本概念和术语作业：图示结构各杆等截面杆，截面面积为A,结点C承受荷载P作用,材料应力—应变关系分别为（1）=E，(2)=E1/2。试计算结构的应变能U和应变余能Uc。lPCBAxylC’9/9/2021151.2可能位移ui(k)和可能应变ij(k)：可能应变ij(k)：由ui(k)通过几何方程导出的可能位移ui(k)：在V内连续且可微，在su上满足：§10-1几个基本概念和术语9

6、/9/2021161.3可能应力ij(k)：ij,j(k)+fi=0(a)在s上满足(b)满足式(a)、（b)——满足静力方程可能应力ij(k)：在V内满足§10-1几个基本概念和术语9/9/202117两种可能位移ui(k1)和ui(k2)之差称为虚位移ui，而由两种可能位移状态对应的可能应变ij(k1)、ij(k2)之差称为虚应变ij。1.4虚位移ui和虚应变ij：ui=0在su上齐次位移边界条件。ij=(ui,j+uj,i)/2在V内§10-1几个基本概念

7、和术语9/9/2021181.5虚应力ij：在s上:njij=0；ij=ij(k1)-ij(k2)§10-1几个基本概念和术语在V内：ij,j=0满足齐次静力方程。9/9/202119§10-2虚功方程2.1虚功方程SuS在给定体力、面力和约束情况下，如果找到两种状态:第一种状态：在给定的体力fi和面力，已知（找到）可能应力状态ij(k1)在V内：ij(k1)+fi=0;在s=s:9/9/202120第二种状态：弹性体处于可能变形状态ui(k2)、ij(k2)则第

8、一种状态外力在第二种状态可能位移作的外力虚功等于第一种状态可能应力在第二种状态可能应变上作的虚变形功。——虚功原理§10-2虚功方程在s=su:9/9/2021212.2虚功方程的证明：§10-2虚功方程9/9/202122§10-2虚功方程9/9/202123代入虚功方程左端，得并注意虚功方程未涉及本构关系，所有在各种材料性质虚功方程成立。则We=Wi§10-2虚功方程9/9/202124虚功方程虽然对两种不相干的可能状态成立，但一般应用是一种为真实状态，另一种为虚设可能状态（虚设状态）。q