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1、简单的线性规划问题一、二元一次不等式表示的平面区域：在平面直角坐标系中，设有直线（B不为0）及点，则①若B>0，，则点P在直线的上方，此时不等式表示直线的上方的区域；②若B>0，，则点P在直线的下方，此时不等式表示直线的下方的区域；（注：若B为负，则可先将其变为正）由此可知，二元一次不等式在平面直角坐标系中表示直线某一侧所有点组成的平面区域。我们把直线画成虚线以表示区域不含边界直线.当我们在坐标系中画不等式所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把边界直线画成实线.由于对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y)
2、，把它的坐标(x,y)代入Ax+By+C，所得到的实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0,y0),从Ax0+By0+C的正负情况，即可判断Ax+By+C>0表示直线哪一侧的平面区域。特殊地，当C≠0时，直线不过原点，能常把原点作为特殊点二.线性规划:求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题.满足线性约束条件的解（x，y）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域（类似函数的定义域）；使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解。生产实际中有许多问题都可以归结为线性规
3、划问题.线性规划问题一般用图解法，其步骤如下：（1）根据题意，设出变量x、y；（2）找出线性约束条件；（3）确定线性目标函数z=f（x，y）；（4）画出可行域（即各约束条件所示区域的公共区域）；（5）利用线性目标函数作平行直线系f（x，y）=t（t为参数）；（6）观察图形，找到直线f（x，y）=t在可行域上使t取得欲求最值的位置，以确定最优解，给出答案。例.画出不等式表示的平面区域.思路分析：遵循直线定界，特殊点定域的方法即可.不等式表示的区域如图解:先作出边界直线：，因为这条线上的点都不满足，所以画成虚线.取原点，代入即
4、因为，所以原点在表示的平面区域内，O142231点评与感悟：这是处理线性规划问题的基础，必须仔细体会.例.在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是（）(A)(B)4(C)(D)2思路分析：本题考查简单的线性规划的可行域、三角形的面积.解：由题意，作出已知的不等式组表示的平面区域，即所在区域（如图7.4-6所示），其中，三个顶点分别为于是，三角形的面积为故选（B）.【答案】B例.设x,y满足约束条件，分别求：(1)z=6x+10y；(2)z=2x-y；(3)z=2x-y，(x,y均为整数)的最大值，最小值。思路分析
5、：由于所给的约束条件及目标函数均为关于的一次式，所以此问题是简单线性规划问题，使用图解法求解解：（1）先作出可行域，如图所示中的区域，图7.4-7且求得A(5,2),B(1,1),C(1,)作出直线L0：6x+10y=0，再将直线L0平移当L0的平行线过B点时，可使z=6x+10y达到最小值当L0的平行线过A点时，可使z=6x+10y达到最大值所以zmin=16;zmax=50作出直线L0：6x+10y=0，再将直线L0平移当L0的平行线过B点时，可使z=6x+10y达到最小值当L0的平行线过A点时，可使z=6x+10y达
6、到最大值所以zmin=16;zmax=50（3）同上，作出直线L0：2x-y=0，再将直线L0平移，当L0的平行线过C点时，可使z=2x-y达到最小值,当L0的平行线过A点时，可使z=2x-y达到最大值8点评与感悟：(1)线性目标函数的最大（小）值一般在可行域的顶点处取得，也可能在边界处取得。(如：上题第一小题中z=6x+10y的最大值可以在线段AC上任一点取到)。（2）求线性目标函数的最优解，要注意分析线性目标函数所表示的几何意义——在y轴上的截距或其相反数。但由于不是整数，而最优解（x,y）中，x,y必须都是整数，所以
7、可行域内的点C(1,)不是最优解，当L0的平行线经过可行域内的整点(1,4)时，可使z=2x-y达到最小值，所以zmin=-2某人上午7时，乘摩托艇以匀速V海里╱时(4≤V≤20)从A港出发到距50海里的B港去，然后乘汽车以匀速W千米╱时(30≤W≤100)自B港向距300千米的C市驶去，应该在同一天下午4至9点到达C市.设汽车、摩托艇所需的时间分别是x、y小时。作出表示满足上述条件的x、y范围；(2)如果已知所要经费P=100+3·(5-x)+2·(8-y)(元)，那么V、W分别是多少时，走得最经济?此时需花费多少元?解
8、：由题得,所以由于乘汽车、摩托车所需的时间和应满足：，因此满足上述条件的点（x,y）的范围是图中的阴影部分（包括边界）y2y+3x=381491491032.5ox2y+3x=012.5（2）P=100+3·(5-x)+2·(8-y)要使p最小，则131-p最大。在图中的阴影部分区域（包括边界）且斜率为
