29一阶线性微分方程.ppt

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1、主要内容：第六章微分方程第二节一阶线性微分方程一、线性方程；二、伯努利方程.1一、线性方程标准形式yP(x)yQ(x)当Q(x)恒为零时称为齐次线性方程Q(x)不恒为零时称为非齐次线性方程一阶线性微分方程齐次线性方程的通解齐次线性方程yP(x)y0是变量可分离方程其通解为提示2提示:这里所用的方法称为常数变易法这种方法就是把齐次线性方程的通解中的任意常数C换成未知函数u(x)然后代入非齐次线性方程并确定出函数u(x)提示:代入后得到非齐次线性方程的通解代入非齐次线性方程求得齐次线性方程的通解设非

2、齐次线性方程yP(x)yQ(x)的通解为3于是非齐次线性方程的通解为非齐次线性方程的通解代入非齐次线性方程求得齐次线性方程的通解设非齐次线性方程yP(x)yQ(x)的通解为积分得4注非齐次线性方程的通解也可写为上式表明非齐次线性方程的通解等于对应的齐次线性方程通解与非齐次线性方程的一个特解之和齐次通解非齐次特解非齐次线性方程yP(x)yQ(x)的通解为5解由通解公式得非齐次线性方程yP(x)yQ(x)的通解为例1求微分方程的通解6解通解为非齐次线性方程yP(x)yQ(x)的通解为例2求

3、微分方程满足初始条件的特解.由x=0,y=1得所求特解为7解通解为非齐次线性方程yP(x)yQ(x)的通解为例3求微分方程的通解.原方程化为8二、伯努利方程伯努利方程标准形式yP(x)yQ(x)yn(n01)伯努利方程yP(x)yQ(x)yn可化为:伯努利方程的解法9解原方程可化为由非齐次线性方程的通解公式得即原方程的通解为例4求方程的通解.10例5将质量为m的物体垂直上抛,假设初始速度为v0,空气阻力与速度成正比(比例系数为k),试求物体上升过程中速度与时间的函数关系.解由牛顿第二定律知化为由t

4、=0,v=v0得所求为11解点P(x,y)处的切线方程为在x轴上的截距为1)当a>0时,化为其通解为由x=1,y=1,得所求曲线方程为例6在xOy面的第一象限内有一曲线过点(1,1),曲线上任一点P处的切线与x轴及线段OP所围三角形的面积为常数k,求此曲线的方程.12解点P(x,y)处的切线方程为在x轴上的截距为2)当a<0时,化为其通解为由x=1,y=1,得所求曲线方程为例6在xOy面的第一象限内有一曲线过点(1,1),曲线上任一点P处的切线与x轴及线段OP所围三角形的面积为常数k,求此曲线的方程.13课后练习P315

5、:1、2、3、4.14布置第五次作业P3042.（4）；P3151.（2）、（3）.15