一阶线性微分方程一十五.ppt

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1、一阶线性微分方程的标准形式:上方程称为齐次的.上方程称为非齐次的.例如线性的;非线性的.一阶线性微分方程一、线性方程一阶线性微分方程的解法1.线性齐次方程(使用分离变量法)齐次方程的通解为2.线性非齐次方程讨论两边积分非齐次方程通解形式与齐次方程通解相比常数变易法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.实质:未知函数的变量代换.作变换积分得一阶线性非齐次微分方程的通解为:对应齐次方程通解非齐次方程特解非齐次线性方程的通解相应齐方程的通解等于与非齐次方程的一个特解之和即非齐通解=齐通解+非齐特解——线性微分方程解的结构，是很优良的性质。例1解解方程解相应

2、齐方程解得令例2代入非齐方程解得故非齐次方程的通解为例3解方程解这是一个二阶线性方程由于其中不含变量y若令化成一阶线性方程其通解为即再积分即为原二阶方程的通解例4如图所示，平行与轴的动直线被曲线与截下的线段PQ之长数值上等于阴影部分的面积,求曲线.解两边求导得解此微分方程所求曲线为一阶线性微分方程的通解也可写成方程令即化为一阶线性微分方程注二、伯努利方程伯努利(Bernoulli)方程的标准形式方程为线性微分方程.方程为非线性微分方程.解法:需经过变量代换化为线性微分方程.代入上式求出通解后，将代入即得例5解例6用适当的变量代换解下列微分方程:解所求通解为

3、解分离变量法得所求通解为解代入原式分离变量法得所求通解为另解注利用变量代换将一个微分方程化为变量可分离的方程或化为已知其求解步骤的方程是求解微分方程的一种最常用的思想方法如齐次型、可化为齐次型、一阶线性方程、Bernoulli方程等都是通过变量代换来求解方程的。将变换为也是经常可以考虑的三、小结1.齐次方程2.线性非齐次方程3.伯努利方程思考题求微分方程的通解.思考题解答练习题练习题答案