幂函数的性质、常考题型及对应练习.doc

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1、幂函数分数指数幂正分数指数幂的意义是：（，、，且）负分数指数幂的意义是：（，、，且）一、幂函数的定义一般地，形如（R）的函数称为幂孙函数，其中是自变量，是常数.如等都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初等函数.二、幂函数的图像幂函数随着的不同，定义域、值域都会发生变化，可以采取按性质和图像分类记忆的方法．熟练掌握，当的图像和性质，列表如下．从中可以归纳出以下结论：①它们都过点，除原点外，任何幂函数图像与坐标轴都不相交，任何幂函数图像都不过第四象限．②时，幂函数图像过原点且在上是增函数

2、．③时，幂函数图像不过原点且在上是减函数．④任何两个幂函数最多有三个公共点．7奇函数偶函数非奇非偶函数OxyOxyOxyOxyOxyOxyOxyOxyOxy三、幂函数基本性质（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；（2）α＞0时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0，+∞]上，是增函数（3）α＜0时，幂函数的图象在区间（0，+∞）上是减函数.　规律总结　　1．在研究幂函数的性质时，通常将分式指数幂化为根式形式，负整指数幂化为分式形式再去进行讨论；　　2．对于幂函数y＝，我们

3、首先应该分析函数的定义域、值域和奇偶性，由此确定图象的位置，即所在象限，其次确定曲线的类型，即＜0，0＜＜1和＞1三种情况下曲线的基本形状，还要注意＝0，±1三个曲线的形状；对于幂函数在第一象限的图象的大致情况可以用口诀来记忆：“正抛负双，大竖小横”，即＞0（≠1）时图象是抛物线型；＜0时图象是双曲线型；＞1时图象是竖直抛物线型；0＜＜1时图象是横卧抛物线型．四、幂函数的应用题型一.幂函数的判断例1．在函数中，幂函数的个数为()A．0B．1C．2D．3练1．下列所给出的函数中，是幂函数的是（）A．B

4、．C．D．7题型二.幂函数图像问题xOy例2.幂函数（、，且、互质）的图象在第一，二象限，且不经过原点，则有（）、为奇数且为偶数，为奇数，且为偶数，为奇数，且奇数，为偶数，且练2.右图为幂函数在第一象限的图像，则的大小关系是（）xOy解：取，由图像可知：，，应选．题型三.幂函数比较大小的问题例3.比较下列各组数的大小：（1），，；（2），，；（3），，．解：（1）底数不同，指数相同的数比大小，可以转化为同一幂函数，不同函数值的大小问题．∵在上单调递增，且，∴．（2）底数均为负数，可以将其转化为，，．

5、∵在上单调递增，且，∴，即，7∴．（3）先将指数统一，底数化成正数．，，．∵在上单调递减，且，∴，即：．点评：比较幂形式的两个数的大小，一般的思路是：（1）若能化为同指数，则用幂函数的单调性；（2）若能化为同底数，则用指数函数的单调性；（3）若既不能化为同指数，也不能化为同底数，则需寻找一个恰当的数作为桥梁来比较大小．题型四.幂函数含参数问题例4.若，求实数的取值范围．分析：若，则有三种情况，或．解：根据幂函数的性质，有三种可能：或或，解得：．练4．已知幂函数（）的图象与轴、轴都无交点，且关于原点对

6、称，求的值．解：∵幂函数（）的图象与轴、轴都无交点，∴，∴；∵，∴，又函数图象关于原点对称，∴是奇数，∴或．练5．幂函数，当x∈(0,+∞)时为减函数，则实数m的值为()7A.m＝2B.m＝－1C.m＝－1或m＝2D.题型五、幂函数与函数的性质综合题例5、求函数y＝＋2x＋4（x≥－32）值域．　　解析：设t＝x，∵x≥－32，∴t≥－2，则y＝t2＋2t＋4＝（t＋1）2＋3．　　当t＝－1时，ymin＝3．　　∴函数y＝＋2x＋4（x≥－32）的值域为［3，＋）．　　点评：这是复合函数求值域的问

7、题，应用换元法．练6．已知f(x)＝，(1)判断f(x)在(0，＋∞)上的单调性并证明；(2)当x∈[1，＋∞)时，求f(x)的最大值．解：　函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数．证明如下：任取x1、x2∈(0，＋∞)，且x10，x2－x1>0，x12x22>0.∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．∴函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数．(2)由(1)知，f(x)的单调减区间为(0，＋∞)，∴函数f(x)在[1

8、，＋∞)上是减函数，∴函数f(x)在[1，＋∞)上的最大值为f(1)＝2.【同步练习】1.下列函数中不是幂函数的是（）Ａ．　　　Ｂ．　　Ｃ．　　　Ｄ．答案：Ｃ2.下列函数在上为减函数的是（）Ａ．　　　Ｂ．　　Ｃ．　　　Ｄ．答案：Ｂ3.下列幂函数中定义域为的是（）Ａ．　　　Ｂ．　　Ｃ．　　　Ｄ．答案：Ｄ74．函数y＝（x2－2x）的定义域是（　　）　A．{x

9、x≠0或x≠2}　　B．（－∞，0）（2，＋∞）C．（－∞，0）］［2，＋∞］　D．（0，2）　解析：函数可化为