第5章 回溯法new.ppt

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1、1有许多问题，当需要找出它的解集或者要求回答什么解是满足某些约束条件的最佳解时，往往要使用回溯法。回溯法的基本做法是搜索，或是一种组织得井井有条的，能避免不必要搜索的穷举式搜索法。这种方法适用于解一些组合数相当大的问题。回溯法在问题的解空间树中，按深度优先策略，从根结点出发搜索解空间树。算法搜索至解空间树的任意一点时，先判断该结点是否包含问题的解。如果肯定不包含，则跳过对该结点为根的子树的搜索，逐层向其祖先结点回溯；否则，进入该子树，继续按深度优先策略搜索。回溯法25.1回溯法的算法框架一、问题的解空间问题

2、的解向量：回溯法希望一个问题的解能够表示成一个n元式(x1,x2,…,xn)的形式。显约束：对分量xi的取值限定。隐约束：为满足问题的解而对不同分量之间施加的约束。解空间：对于问题的一个实例，解向量满足显式约束条件的所有多元组，构成了该实例的一个解空间。3n=3时的0-1背包问题用完全二叉树表示的解空间4旅行售货员问题的解空间55.1回溯法的算法框架二、回溯法的基本思想确定了解空间的组织结构后，回溯法就从开始结点(根节点)出发，以深度优先的方式搜索整个解空间。这个开始结点就成为一个活结点，同时成为当前的扩展

3、结点。在当前的扩展结点处，搜索向纵深方向移至一个新结点。这个结点就成为一个新的活结点，并成为当前扩展结点。如果在当前的扩展结点处不能再向纵深方向移动，则当前的扩展结点就成为死结点。此时应往回移动(回溯)至最近的一个活结点处，并使这个活结点成为当前的扩展结点。回溯法即以这种工作方式递归地在解空间中搜索，直至找到所要求的解或解空间中已无活结点时为止。扩展结点:一个正在产生儿子的结点称为扩展结点活结点:一个自身已生成但其儿子还没有全部生成的节点称做活结点死结点:一个所有儿子已经产生的结点称做死结点6回溯法的基本思

4、想(1)针对所给问题，定义问题的解空间；(2)确定易于搜索的解空间结构；(3)以深度优先方式搜索解空间，并在搜索过程中用剪枝函数避免无效搜索。常用剪枝函数：用约束函数在扩展结点处剪去不满足约束的子树；用限界函数剪去得不到最优解的子树。用回溯法解题的一个显著特征是在搜索过程中动态产生问题的解空间。在任何时刻，算法只保存从根结点到当前扩展结点的路径。如果解空间树中从根结点到叶结点的最长路径的长度为h(n)，则回溯法所需的计算空间通常为O(h(n))。而显式地存储整个解空间则需要O(2h(n))或O(h(n)!)

5、内存空间。7递归回溯回溯法对解空间作深度优先搜索，因此，在一般情况下用递归方法实现回溯法。voidbacktrack(intt){if(t>n)output(x);elsefor(inti=f(n,t);i<=g(n,t);i++){x[t]=h(i);if(constraint(t)&&bound(t))backtrack(t+1);}}8迭代回溯采用树的非递归深度优先遍历算法，可将回溯法表示为一个非递归迭代过程。voiditerativeBacktrack(){intt=1;while(t>0){if(

6、f(n,t)<=g(n,t))for(inti=f(n,t);i<=g(n,t);i++){x[t]=h(i);if(constraint(t)&&bound(t)){if(solution(t))output(x);elset++;}}elset--;}}9子集树与排列树遍历子集树需O(2n)计算时间遍历排列树需要O(n!)计算时间voidbacktrack(intt){if(t>n)output(x);elsefor(inti=0;i<=1;i++){x[t]=i;if(legal(t))backtra

7、ck(t+1);}}voidbacktrack(intt){if(t>n)output(x);elsefor(inti=t;i<=n;i++){swap(x[t],x[i]);if(legal(t))backtrack(t+1);swap(x[t],x[i]);}}10三、子集树的构造当所给的问题是从n个元素的集合中找出满足某种性质的子集时，相应的解空间树称为子集树(subsettree)。例如：对于n个元素的整数集{1,2,…n}，n=1时，只有两个子集，即为{}和{1}；n=2时，有4个子集；n=3时，

8、有8个子集。每增加一个新元素，都使子集个数加倍，因此对于n个元素，有2n个子集。例如：0-1背包问题对应的解空间就是一棵子集树，树中所有结点都可能成为问题的解。11四、排列树的构造当所给的问题是从n个元素的集合中找出满足某种性质的排列时，相应的解空间树称为排列树(permutationtree)。例如：对于{1,2,…n}的一个排列，其第一个元素可以有n种不同的选择。一旦选定这个值x1，则第二个位置有n-1种选择