算法第5章 回溯法课件.ppt

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1、第5章回溯法学习要点理解回溯法的深度优先搜索策略掌握用回溯法解题的算法框架（1）递归回溯最优子结构性质（2）迭代回溯贪心选择性质（3）子集树算法框架（4）排列树算法框架通过应用范例学习回溯法的设计策略。（1）装载问题；（2）批处理作业调度；（3）符号三角形问题（4）n后问题；（5）0-1背包问题；（6）最大团问题；（7）图的m着色问题（8）旅行售货员问题（9）圆排列问题（10）电路板排列问题（11）连续邮资问题用计算机求解问题问题空间现实求解过程实际解状态空间对象的定义机器求解过程算法与程序的设计机内解计算机求解的过程在状态空间寻找机内解,可以看成是从初始状态出发,搜索目标状态(解所在的状态

2、)的过程。状态空间初始状态目标状态搜索搜索的过程可描述为：S0S1…Sn，其中S0为初态，Sn为终态。或者说ψ(S0)且φ(Sn)，这里ψ称为初始条件，φ称为终止条件。求解是状态空间的搜索求解的过程可以描述为对状态空间的搜索S0S11S12…S1k………………Sn1……Sni……Snm其中S0为初始状态，不妨设Sni为终止状态S0Sni问题求解就是通过搜索，寻找出一条从初始状态S0到终止状态Sni的路径。6几种搜索方法状态空间的搜索实际上是一种树/DAG（DirectedAcyclicGraph）的搜索，常用的方法有：广度优先搜索深度优先搜索启发式搜索从初始状态开始，逐层地进行搜索。从

3、初始状态开始，逐个分枝地进行搜索。从初始状态开始，每次选择最有可能达到终止状态的结点进行搜索。7三种搜索的优劣之处一般来说，三种搜索方法各有优劣之处：广度优先搜索和深度优先搜索优点：一定能找到解；缺点：时间复杂性大。启发式搜索优点：一般来说能较快地找到解，即其时间复杂性小；缺点：需要设计一个评价函数，并且评价函数的优劣决定了启发式搜索的优劣。8当需要找出问题的解集，或者要求回答什么解是满足某些约束条件的最佳解时，往往要使用回溯法。回溯法的基本做法是搜索，或是一种组织得井井有条的，能避免不必要搜索的穷举式搜索法。这种方法适用于解一些组合数相当大的问题。在问题的解空间树中，回溯法按深度优先策略，

4、从根结点出发搜索解空间树。算法搜索至解空间树的任意一点时，先判断该结点是否包含问题的解。如果肯定不包含，则跳过对该结点为根的子树的搜索，逐层向其祖先结点回溯；否则，进入该子树，继续按深度优先策略搜索。回溯法5.1回溯法的算法框架5.1.1问题的解空间应用回溯法解问题时，首先应明确定义问题的解空间。问题的解空间应至少包含问题的一个(最优)解。通常将解空间组织成树或图的形式。问题的解向量：回溯法希望一个问题的解，能够表示成一个n元式(x1,x2,…,xn)的形式。显约束：对分量xi的取值限定隐约束：为满足问题的解，而对不同分量之间施加的约束。解空间：对于问题的一个实例，解向量满足显式约束条件的所

5、有多元组，构成了该实例的一个解空间。例如，对于有n种可选物品的0-1背包问题，其解空间由长度为n的0-1向量组成。n=3时的0-1背包问题用完全二叉树表示的解空间5.1.2回溯法的基本思想扩展结点:一个正在产生儿子的结点活结点:一个自身已生成但其儿子还没有全部生成的节点死结点:一个所有儿子已经产生的结点深度优先的问题状态生成法：如果对一个扩展结点R，一旦产生了它的一个儿子C，就把C当做新的扩展结点。在完成对子树C（以C为根的子树）的穷尽搜索之后，将R重新变成扩展结点，继续生成R的下一个儿子（如果存在）宽度优先的问题状态生成法：在一个扩展结点变成死结点之前，它一直是扩展结点。回溯法：为了避免生

6、成那些不可能产生最佳解的问题状态，要不断地利用限界函数(boundingfunction)来处死那些实际上不可能产生所需解的活结点，以减少问题的计算量。具有限界函数的深度优先生成法称为回溯法。基本思想：确定了解空间的组织结构后，回溯法就从开始结点（根结点）出发，以深度优先的方式搜索整个解空间。开始结点就成为一个活结点，同时也成为当前的扩展结点。在当前扩展结点，搜索向纵深方向移至一个新结点。这个新结点就成为一个新的活结点，并成为当前扩展结点。如果在当前的扩展结点处不能再向纵深方向移动，则当前扩展结点就成为死结点。此时，应往回移动（回溯）至最近的一个活结点处，并使这个活结点成为当前的扩展结点。回

7、溯法即以这种工作方式递归地在解空间中搜索，直至找到所要求的解或解空间中已没有活结点时为止。示例10-1背包问题n=3,C=30,w={16,15,15},v={45,25,25}开始时，Cr=C=30，V=0，A为唯一活结点，也是当前扩展结点扩展A，先到达B结点Cr=Cr-w1=14，V=V+v1=45此时A、B为活结点，B成为当前扩展结点扩展B，先到达DCr