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1、数列问题专题一求通项公式高中数列问题主要是解决两个方面的问题，一个是通项公式，另一个就是求前n项和问题，现对求通项公式常用方法作一归纳。第一类，知道数列是等差或等比数列，一般来说都会告诉两个等式求出a1和d或a1和q和,这类相对简单，就不再举例。第二类，递推公式为与n的关系式求，必利用.这类题中易在验证a1和的关系上出错（如下面的例题2，3）。2．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n2＋2n＋1，（n∈N*)求an3．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n2，n∈N*)求，an4．已知等差数列的
2、前项和为（Ⅰ）求q的值；（Ⅱ）若a1与a5的等差中项为18，bn满足，求数列的{bn}前n项和.(Ⅰ)解法一：当时，,18当时,.是等差数列,,············解法二：当时,,当时,.当时,..又,所以,得.············4分(Ⅱ)解：,.又,,············8分又得.,,即是等比数列.所以数列的前项和第三类递推公式为与的关系式求。这种类型必利用。这类题比第二类难一些，主要在于有时直接把转化为较困难，那么此时就应把转化为，先求出再利用第二类题求出。和第二类一样，经常忽略要验证a1和
3、的关系，即经常存在第一项不满足整个通式的情况。182．已知数列前n项和.（1）求与的关系；（2）求通项公式.3.已知数列中，是其前项和，并且，⑴设数列，求证：数列是等比数列；⑵设数列，求证：数列是等差数列；⑶求数列的通项公式及前项和。4．已知数列中，是其前项和，=,+2=0，求数列{an}的通项公式.5．（2006，陕西,理,20本小题满分12分)已知正项数列{an}，其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列，求数列{an}的通项an6．变式:(2005,江西,文,22．本
4、小题满分14分）已知数列{an}的前n项和Sn满Sn－Sn－2=3求数列{an}的通项公式.7．已知无穷数列的前项和为，并且，求的通项公式？第四类形如=A+Bn+C+D类（A，B，q,n,D为常数，且q不为1）。18这类题出现得最多，运用也最常见，难度较大，主要是构造很困难。题目为了降低难度一般情况下Bn（等差），C（等比），D（常数）三类不会同时出现。不论是单独出现哪一个，都可以归纳为一类，解题是按同一类构造好即可，这样就可以有效地降低学生学习难度，更易于处理。这里面又可分三大类。在第三类中的很多题目都会再
5、次用到第四类中的方法。（第一种情况）当A=1时，利用累加法求解。1.已知数列满足，，求。解：由条件知：分别令，代入上式得个等式累加之，即所以，2．已知数列满足，=+5n+3×+1，求。3.已知,,求数列通项公式.变式:已知数列，且a2k=a2k－1+(－1)k,a2k+1=a2k+3k,其中k=1,2,3,…….（I）求a3,a5；（II）求{an}的通项公式.184．已知数列中,,求数列的通项公式（第二种情况）当A≠q时（同时A≠1），构造等比数列，其公比为A。构造模式为+E（n+1）+F+G=A(+En+
6、F+G)，然后利用待定系数法求出E，F，G。注意这类题中，A如果是q的次方时要小心，易出错。1．已知数列，且=2+5n+2×+1求{an}的通项公式.2．已知数列中，，，求.（）3．已知数列中，,，求。4．已知数列中，，，求数列的通项公式.5．已知数列中，，，求.186．变式:（2006.福建.理22.本小题满分14分）已知数列满足（I）求数列的通项公式；（II）若数列{bn}滿足证明：数列{bn}是等差数列；（Ⅲ）证明：7．已知数列中，,，求。变式:（2006，全国I,理22,本小题满分12分）设数列的前项
7、的和，（Ⅰ）求首项与通项；（Ⅱ）设，，证明：8．设数列：，求.9．在数列中，，求18（第三种情况）当A=q时，构造等差数列，公差为C。其构造模式为：。应当注意的是，在=A+Bn+C+D这个式子中，q的次方必须化为，否则公差就出现了问题。1．已知数列，且=2+5n+3×+1，求{an}的通项公式.（本题中的公差就为3）2．已知数列，且=2+5n+3×+1，求{an}的通项公式.（本题中的公差就为）就在于必须把3×转化为×，否则出错。18第五类递推公式为（其中p，q均为常数）。出现连续三项的题目，一般按方式构造，
8、课本上数列一章最后复习题里面有这样一道题。解法一(待定系数法)：先把原递推公式转化为其中s，t满足，求出s，t。（教材即此方法，较麻烦）解法二（用特征根法）可解。下面例题只给出特征根法1．数列：数列：，,求（）解（特征根法）：的特征方程是：。,。又由，于是18故2．已知数列中，,,，求。3.已知数列满足（I）证明：数列是等比数列；（II）求数列的通项公式；（III）若数列满足证明是等差数列4.已知数
