点共线、线共点的一般证明方法及梅涅劳斯定理、塞瓦定理的应用答案.doc

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1、.平面几何培训专题----《点共线》，《线共点》问题1.点共线的证明点共线的通常证明方法是：通过邻补角关系证明三点共线；证明两点的连线必过第三点；证明三点组成的三角形面积为零等。n(n≥4)点共线可转化为三点共线。例1如图，设线段AB的中点为C，以AC和CB为对角线作平行四边形AECD，BFCG。又作平行四边形CFHD，CGKE。求证：H，C，K三点共线。例2如图所示，菱形ABCD中，∠A=120°，O为△ABC外接圆，M为其上一点，连接MC交AB于E，AM交CB延长线于F。求证：D，E，F三点共线。..例3

2、四边形ABCD内接于圆，其边AB与DC的延长线交于点P，AD与BC的延长线交于点Q。由Q作该圆的两条切线QE和QF，切点分别为E，F。求证：P，E，F三点共线。例4以圆O外一点P，引圆的两条切线PA，PB，A，B为切点。割线PCD交圆O于C，D。又由B作CD的平行线交圆O于E。若F为CD中点，求证：A，F，E三点共线。..2.线共点的证明证明线共点可用有关定理(如三角形的3条高线交于一点)，或证明第3条直线通过另外两条直线的交点，也可转化成点共线的问题给予证明。例5以△ABC的两边AB，AC向外作正方形ABD

3、E，ACFG。△ABC的高为AH。求证：AH，BF，CD交于一点。例6设P为△ABC内一点，∠APB－∠ACB=∠APC－∠ABC。又设D，E分别是△APB及△APC的内心。证明：AP，BD，CE交于一点。..例7O1与O2外切于P点，QR为两圆的公切线，其中Q，R分别为O1，O2上的切点，过Q且垂直于QO2的直线与过R且垂直于RO1的直线交于点I，IN垂直于O1O2，垂足为N，IN与QR交于点M。证明：PM，RO1，QO2三条直线交于一点。3.塞瓦定理、梅涅劳斯定理及其应用定理1(塞瓦(Ceva)定理):设

4、P，Q，R分别是△ABC的BC，CA，AB边上的点。若AP，BQ，CR相交于一点M，则。证如图，由三角形面积的性质，有,,.以上三式相乘，得...定理2(定理1的逆定理):设P，Q，R分别是△ABC的BC，CA，AB上的点。若，则AP，BQ，CR交于一点。证如图，设AP与BQ交于M，连CM，交AB于R’。由定理1有.而，所以.于是R’与R重合，故AP，BQ，CR交于一点。定理3(梅涅劳斯(Menelaus)定理):一条不经过△ABC任一顶点的直线和三角形三边BC，CA，AB(或它们的延长线)分别交于P，Q，R

5、，则证如图，由三角形面积的性质，有,,.将以上三式相乘，得.定理4(定理3的逆定理):设P，Q，R分别是△ABC的三边BC，CA，AB..或它们延长线上的3点。若，则P，Q，R三点共线。定理4与定理2的证明方法类似。例8如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD。在CD上取一点E，BE与AC相交于F，延长DF交BC于G。求证：∠GAC=∠EAC。证如图，连接BD交AC于H，过点C作AB的平行线交AG的延长线于I，过点C作AD的平行线交AE的延长线于J。对△BCD用塞瓦定理，可得①因为AH是∠BAD的角平

6、分线，由角平分线定理知。代入①式得②因为CI∥AB，CJ∥AD，则，。代入②式得.从而CI=CJ。又由于∠ACI=180°－∠BAC=180°－∠DAC=∠ACJ，所以△ACI≌△ACJ，故∠IAC=∠JAC，即∠GAC=∠EAC.例9ABCD是一个平行四边形，E是AB上的一点，F为CD上的一点。AF交ED于G，EC交FB于H。连接线段GH并延长交AD于L，交BC于M。求证：DL=BM....例10在直线l的一侧画一个半圆T，C，D是T上的两点，T上过C和D的切线分别交l于B和A，半圆的圆心在线段BA上，E是

7、线段AC和BD的交点，F是l上的点，EF垂直l。求证：EF平分∠CFD。例11如图，四边形ABCD内接于圆，AB，DC延长线交于E，AD、BC延长线交于F，P为圆上任意一点，PE，PF分别交圆于R，S.若对角线AC与BD相交于T.求证：R，T，S三点共线。先证两个引理。..引理1:A1B1C1D1E1F1为圆内接六边形，若A1D1，B1E1，C1F1交于一点，则有.如图，设A1D1，B1E1，C1F1交于点O，根据圆内接多边形的性质易知△OA1B1∽△OE1D1，△OB1C1∽△OF1E1，△OC1D1∽△O

8、A1F1，从而有，，.将上面三式相乘即得，引理2：圆内接六边形A1B1C1D1E1F1，若满足则其三条对角线A1D1，B1E1，C1F1交于一点。该引理与定理2的证明方法类似，留给读者。例11之证明如图，连接PD，AS，RC，BR，AP，SD.由△EBR∽△EPA，△FDS∽△FPA，知,.两式相乘，得.①..又由△ECR∽△EPD，△FPD∽△FAS，知，.两式相乘，得②由①，②得.故.③对△EA