高中数学必修2立体几何专题-线面垂直方法总结.ppt

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1、用定义或判定定理证明线面垂直【例1】如图，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．证明：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE；直线与平面垂直【证明】(1)在四棱锥P—ABCD中，因为PA⊥底面ABCD，CD平面ABCD，故PA⊥CD.又因为AC⊥CD，PA∩AC＝A，所以CD⊥平面PAC.而AE平面PAC，所以CD⊥AE.(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，得△ABC是等边三角形，故AC＝PA.因为E是PC的中点，所以AE⊥PC.由(1)知，AE⊥

2、CD，且PC∩CD＝C，所以AE⊥平面PCD.而PD平面PCD，所以AE⊥PD.又因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥AB.由已知得AB⊥AD，且PA∩AD＝A，所以AB⊥平面PAD.又PD平面PAD，所以AB⊥PD.因为AB∩AE＝A，所以PD⊥平面ABE.点评本题考查直线与直线垂直、直线与平面垂直等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力．立体几何的证明关键是学会分析和掌握一些常规的证明方法．如：已知中点证明垂直时要首先考虑等腰三角形中的“三线合一”；已知线段或角度等数量关系较多时最好标示出来，充分进行计算，从而发现蕴含的垂直等关系；已

3、知线面垂直时会有哪些结论，是选择线线垂直还是选择面面垂直；要证明结论或要得到哪个结论，就必须满足什么条件等．【变式练习1】如图，E，F分别为直角三角形ABC的直角边AC和斜边AB的中点，沿EF将△AEF折起到△A1EF的位置，连结A1B，A1C.求证：(1)EF⊥平面A1EC；(2)AA1⊥平面A1BC.用线面垂直的性质定理证明线线垂直【证明】如图，∠ACB＝90°，所以BC⊥AC.又在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，所以BC⊥CC1.而AC∩CC1＝C，所以BC⊥平面AA1C1C，所以BC⊥AM.连结A1C.可以证明Rt

4、△ACM∽Rt△AA1C，所以AM⊥A1C.而A1C∩BC＝C，所以AM⊥平面A1BC，所以A1B⊥AM.点评证明线线垂直常构造一个平面经过一条直线与另一条直线垂直，从而达到由线面垂直证明线线垂直的目的．通过计算证明线线垂直【例3】如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是BB1的中点，O是底面正方形ABCD的中心．求证：OE⊥平面ACD1.点评要证线面垂直可找线线垂直，这是几何中证明线面垂直时常用的方法，在证明线线垂直时，要注意从数量关系方面找垂直，如利用勾股定理等．【变式练习3】直棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是直角

5、梯形，∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝2AD＝2CD＝2.求证：AC⊥平面BB1C1C.1.有下列四个命题：①若一条直线垂直于一个平面内无数条直线，则这条直线与这个平面互相垂直；②若两条直线互相垂直，其中一条垂直于一个平面，则另一条直线与该平面平行；③若两条直线同时垂直于同一个平面，则这两条直线互相平行；④若一条直线和一个平面不垂直，则这个平面内不存在与该条直线垂直的直线．其中错误的命题是_______________.①②④2.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为2，M是AD1上任意一点，M到平面BCB1的距离是_______.2

6、3.如图，在正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2，G2G3的中点，D是EF的中点，现沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个几何体，使G1，G2，G3三点重合于点G，这样，下列五个结论：①SG⊥平面EFG；②SD⊥平面EFG；③GF⊥平面SEF；④EF⊥平面GSD；⑤GD⊥平面SEF.其中正确的是_______.①④5.如图，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点．(1)求证：MN⊥CD；(2)若∠PDA＝45°，求证：MN⊥平面PCD.【证明】(1)连结AC，取其中点O，连结NO、MO，并延长MO交CD于R.因为

7、N为PC的中点，所以NO为△PAC的中位线，所以NO∥PA.而PA⊥平面ABCD，所以NO⊥平面ABCD，所以NO⊥CD.又四边形ABCD是矩形，M为AB的中点，O为AC的中点，所以MO⊥CD.而MO∩NO＝O，所以CD⊥平面MNO，所以CD⊥MN.(2)连结NR，则∠NRM＝∠PDA＝45°.又O为MR的中点，且NO⊥MR，所以△MNR为等腰三角形且∠NRM＝∠NMR＝45°，所以∠MNR＝90°，所以MN⊥NR.又MN⊥CD，且NR∩CD＝R，所以MN⊥平面PCD.1．在线面垂直的定义中，一定要弄清楚“任意”与“无数”这两个术语内涵的差异

8、，后者存在于前者中．“任意”的理解最终转化为“两条相交直线”，证明时此条件不可缺少．3．面面垂直的性质的理解中三个条件也不可缺少，即：①两个平面垂直；②其中一个平面