第七章 一维波动方程的傅氏解.ppt

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1、数学物理方程绪论知之者，不如好知者，好知者，不如乐知者。做一个快乐的求知者——与大家共勉数学物理方程与特殊函数☆数学和物理的关系☆课程的内容数学和物理从来是没有分开过的四种方法、三个方程、二个特殊函数分离变量法、行波法、积分变换法、格林函数法波动方程、热传导、拉普拉斯方程贝赛尔函数、勒让德函数☆数学物理方程定义用数学方程来描述一定的物理现象。哈密尔顿算子，读作del拉普拉斯算子高数知识回顾：绪论常微分方程只能描述质点唯一随时间的变化而发生改变的规律。含有某未知多元函数的偏导数的方程称为偏微分方程。表示物理量在空间或时间中变化规律的偏微分方程称为数学物

2、理方程。绪论数学物理方程的基本任务：数学物理方程是以物理学、力学及工程技术中的具体问题为研究对象的，其基本任务有以下两个方面：（1）建立描绘某类物理现象的数学模型，并提供这些问题的求解方法；（2）通过理论分析，研究客观问题变化发展的一般规律。绪论数学物理方程的定解问题：泛定方程：表达某类物理现象共同规律的数学表达式——偏微分方程。定解条件：伴随一个完整的物理过程发生的具体条件，一般包括初始条件与边界条件。泛定方程+定解条件=数学物理方程的定解问题绪论数学物理方程的显著特点：（1）它广泛地运用数学诸多领域的成果。自然现象是复杂的、多样的，数学物理方程中

3、所研究的问题也是复杂的、多样的，所以要应用不同的数学工具来解决性质不同的问题。（2）数学物理方程源于工程实际问题，自然现象本身所蕴含的内在规律，对人们寻求解决问题的思路有着重要的启迪。数学物理方程中的许多重要求解方法，都可以在自然现象中找到它们的来源。数学物理方程的三个类型二阶线性偏微分方程的一般形式波动方程双曲型输运方程抛物型稳定场方程椭圆型第七章一维波动方程的傅氏解（OnedimensionwaveequationanditsFouriersolution）Ⅰ.学习要求1、理解弦振动方程的建立方法2、理解边值条件的意义3、理解初值条件的意义4、理

4、解齐次方程混合问题的傅里叶解的解法5、理解傅氏解的意义6、了解其它波动方程的建立7、理解强迫振动方程的解法一、弦振动方程的建立1实例：用运动方程描述吉它、杨琴等弹奏弦乐器的运动规律。请认真观察下列乐器的弦，思考它有什么特点。电吉它阮阮源于中亚，通过龟兹传入我国，在汉时称为秦琵琶，晋代阮咸擅弹此琴。阮音箱圆形，十二个音柱，四弦，用假指甲或拨片弹，可用于独奏、重奏和歌舞伴奏或参加民族乐队演奏，有丰富的艺术表现力。月琴月琴是从阮演变而来的乐器。自晋代起就在民间流行，约从唐代起就有月琴之名，取其形圆似月、声如琴。来陈旸《乐书》：“月琴，形圆项长，上按四弦十三

5、品柱，象琴之徽，转轸应律，晋阮咸造也”。筝唐赵磷《因话录》记述：“筝，秦乐也，乃琴之流。古瑟五十弦，自黄帝令素女鼓瑟，帝悲不止，破之，自后瑟至二十五弦。秦人鼓瑟，兄弟争之，又破为二。筝之名自此始。”柳琴最早的柳琴，构造较简单，只有两条丝弦，7个用高粱秆做成的品位，音域很窄，仅有一个半八度，还不便转调。当时的琴体较大，演奏时有一竹筒套在食指上，用拇指捏紧，靠手腕甩动而拨弦发音，演奏形式别具一格。后以竹套质脆易裂，使用挖空的牛角圆筒代替。琵琶千呼万唤始出来，犹抱琵琶半遮面。转轴拨弦三两声，未成曲调先有情。弦弦掩抑声声思，似诉平生不得志。低眉信手续续弹

6、，说尽心中无限事。轻拢慢捻抹复挑，初为霓裳后六幺。大弦嘈嘈如急雨，小弦切切如私语。嘈嘈切切错杂弹，大珠小珠落玉盘。间关莺语花底滑，幽咽泉流冰下难。别有幽愁暗恨生，此时无声胜有声。银瓶乍破水浆迸，铁骑突出刀枪鸣。曲终收拨当心画，四弦一声如裂帛。二胡一根琴杆顶天立地，两根琴弦连接东西。内弦如男人，沉稳雄厚；外弦如女人，高亢明亮。在阴阳的融合中演绎着天地的绝唱2数学物理模型的建立（1）紧拉弦：静止的弦是一维的，弦上任意一点可用一维坐标来描写。松驰弦紧拉弦（2）柔软弦：弦在其横向可发生位置移动（振动）。弦：柔软的杆：刚性的（3）弹性弦：弦有完全恢复形变

7、的能力。×不折断不变形（4）均匀轻弦：质量分布均匀且重力可以忽略。弦的质量与弦长成正比，比例常数为线质量密度。我们有下列关于质量与重力的表达式。（5）小振动弦：弦的振幅与弦长相比很小。紧拉弦柔软弦弹性弦均匀轻弦小振动弦3振动方程的建立（1）建立坐标系：（2）确定分析对象：在区间(x,x+△x)所对应的微小段弦。（3）微小段弦的受力分析：1、外力；2、左边弦施加的弹力；3、右边弦施加的弹力。F—单位x坐标长度所受的力（4）根据运动定律建立运动方程：（5）一级近似处理：小振动令：则得到弦振动方程：通过调弦的松紧调节T不同的弦ρ值不同。大弦ρ大，小弦ρ小。

8、a是反映弦特征的物理量；f是反映弹奏强弱的物理量。若f=0,则有自由弦振动方程：对于弦振动问题来说，一般弦的