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1、第八章热传导方程的付氏解（HeatconductionequationanditsFouriersolution）学习要求1.能建立热传导方程2.理解其初始条件与边界条件3.求混合问题的傅氏解4.求初值问题的傅氏解5.理解傅氏解的意义6.能解一端有界的热传导方程考核知识点1.能建立热传导方程2.定解条件—混合问题（第一边界条件：两端点温度为0，初始条件：t=0时各点的温度）3.混合问题的傅氏解4.初值问题的傅氏解5.一端有界方程的定解在固体中的热传导方程如果空间某物体内各点处的温度不同，则热量就会从温度较高的点向温度较低的点流动，这种现
2、象就叫做热传导。由于热量的传导过程总是表现为温度随时间和点的位置的不同而变化，因此解决热传导问题的实质是求物体内部温度的分布。我们用表示物体内一点在t时刻的温度，来研究在热传导过程中，温度函数所满足的偏微分方程。第一节热传导方程和扩散方程的建立截面积为A的均匀细杆，侧面绝热，沿杆长方向有温差，求热量的流动的方程。物理模型xAu(x,t)表示x点在时刻t的温度在 内沿x轴正向流过微元截面的热量 有：负号表示热量流动的方向与温度梯度的方向相反。几个概念比热c：单位质量物体，温度升高一度所需的热量。热流密度：单位时间流过单位面积的热量热源
3、强度：单位时间单位体积放出的热量本例热源强度为0。分析研究问题：由热温差造成的热量流动已知：比热c、密度、热传导系数k、热源密度为0所求温度u=u(x,t)是一维问题以细杆为模型考察杆内热量传播的过程。用微元分析法来导出函数u(x,t)所满足的偏微分方程.即:引起温度变化所吸取的热量ΔQ=流入的热量ΔQ’若细杆的密度，则微元的质量为AΔx．在时间内温度升高为：热传导理论的付里叶试验定律，在 内沿 轴正向流过微元截面的热量 有：热传导方程的建立K>0称为热传导系数．（负号表示热量从高温流到低温）在 时间内流过 截面的热量
4、 为：流入微元的热量 等于流入微元的热量减去流出的热量即：利用中值定理，上式变形为：其中令 从而 可得：其中 这就是热传导方程．若细杆内存在热源则在上述热传导方程右边应加一个非齐次项 而成为：由热平衡方程 可得：研究气体的扩散,液体的渗透,半导体材料中的杂质扩散，或神经细胞的动作电位、某些金融现象的模型，诸如布莱克-斯科尔斯模型与Ornstein-Uhlenbeck过程等都符合热传导方程第二节 扩散方程的建立如右图：设为一半导体材料，x表示x处的横截面积为A．用N表示
5、杂质浓度，N是时间和位置x的函数，即N＝N（x,t).考察x处厚为Δx的微元，体积为含杂质质量为：在t到t+Δt的时间间隔内,杂质的增量为：扩散理论中的涅恩斯特实验定律有：其中D>０称为扩散系数．（负号表示杂质分子从浓度高处向低流）在x+Δx,截面处于时间Δt内流过截面的质量为：于是，在时间Δt内，流入微元杂质的质量为：由质量守恒可知：即：令 得：这就是扩散方程．如记D＝a2,就与热传导方程一样．第三节 定解条件以细杆为例，其初始条件为：其边界条件有三种提法第二边界条件：第三边界条件：其中 为已知函数，k为热传导
6、系数，h为热交换系数．第一边界条件：（ ）与波动方程一样，要具体确定热传导方程的解，还要给出其定解条件，从物理上知，只要知道物体的初温分布和边界上的温度就可以了。第二节混合问题的付氏解法考察齐次方程在齐次边界条件下的混合问题:其中为以知函数.解法如下:(8.1)(8.3)(8.4)代入方程(8.1),两端除以得到:其中是常数,由此更得:由边界条件(8.3)给出为决定函数,我们求一个特征值问题:当的值等于:此时,上述特征值问题才有非零解:又方程对应于的解为:其中是积分常数.于是函数(8.5)它满足边界条件(8.3),要使它满足初始条
7、件(8.4)则必须:上述函数是方程(8.1)满足边界条件(8.3)的解.为了满足初始条件(8.4)的解,我们把加起来组成一个级数,令从而定出的值为:(8.6)非齐次热传导方程带有非齐次边界条件的定解问题第三节初值问题的付氏解法§8.3.1付氏积分在一定情况下,付氏级数变成一个积分形式,称之为付氏积分.设定义在内,且在任一有限区间上分段光滑,则可以展开为付氏级数:(8.7)其中将带入级数(8.7),得现设在上绝对可积,即:有限值,那么当时,若记则上列极限又可以写成:由于被积函数关于是偶函数,因此上式可变为:(8.8)上式称为的付氏积分.可
8、以证明,在及的连续点处,的付氏积分收敛于它的函数值.(8.8)还可以写为(8.9)其中(8.10)§8.3.2.利用付氏积分解热传导方程的初值问题我们来求解热传导方程的初值问题:其中为已知函数.(8.1)(
