弹性力学-02.ppt

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1、弹性力学补充二平面问题的基本理论要点——建立平面问题的基本方程包括：平衡微分方程；几何方程；物理方程；变形协调方程；边界条件的描述；方程的求解方法等。主要内容§2-1平衡微分方程§2-2几何方程刚体位移§2-3物理方程§2-4边界条件§2-5圣维南原理§2-6按位移求解平面问题§2-7按应力求解平面问题相容方程§2-8常体力情况下的简化§2-9应力函数逆解法与半逆解法平面问题的求解问题：已知：外力（体力、面力）、边界条件，求：——仅为xy的函数需建立三个方面的关系：（1）静力学关系：（2）几何学关系：（3）物理学关系：形变

2、与应力间的关系。应力与体力、面力间的关系；形变与位移间的关系；建立边界条件：——平衡微分方程——几何方程——物理方程（1）应力边界条件；（2）位移边界条件；§2-1平衡微分方程xyO取微元体PABC（P点附近），PBACDXYZ方向取单位长度。设P点应力已知：体力：X，YAC面：BC面：PBACxyODXY由微元体PABC平衡，得整理得：当时，有——剪应力互等定理PBACxyODXY两边同除以dxdy，并整理得：两边同除以dxdy，并整理得：平面问题的平衡微分方程：（2-2）说明：（1）两个平衡微分方程，三个未知量：——超

3、静定问题，需找补充方程才能求解。（2）对于平面应变问题，x、y方向的平衡方程相同，z方向自成平衡，上述方程两类平面问题均适用；（3）平衡方程中不含E、μ，方程与材料性质无关（钢、石料、混凝土等）；（4）平衡方程对整个弹性体内都满足，包括边界。PBACxyODXY§2-2几何方程刚体位移建立：平面问题中应变与位移的关系——几何方程xyOPAdxBdyuv1.几何方程线段的伸长或缩短；线段间的相对转动；一点的变形考察P点邻域内线段的变形：变形前变形后PABuv注：这里略去了二阶以上高阶无穷小量。xyOPAdxBdyuvPA的正

4、应变：PB的正应变：P点的剪应变：P点两直角线段夹角的变化xyOPAdxBdyuv整理得：——几何方程（2-9）说明：（1）反映任一点的位移与该点应变间的关系，是弹性力学的基本方程之一。（2）当u、v已知，则可完全确定；反之，已知，不能确定u、v。（∵积分需要确定积分常数，由边界条件决定。）（3）——以两线段夹角减小为正，增大为负。2.刚体位移物体无变形，只有刚体位移。即：(a)(b)(c)(e)∵上式中，左边仅为y的函数，右边仅x的函数，∴两边只能等于同一常数，即积分(e)，得：(f)其中，u0、v0为积分常数。（x、y

5、方向的刚体位移），代入（d）得:(2-10)——刚体位移表达式或写成：由(a)、(b)可求得：(d)将(d)代入(c)，得：讨论：(2-10)——刚体位移表达式（1）仅有x方向平移。（2）仅有y方向平移。（3）xyOPyxr说明：——P点沿切向绕O点转动ω——绕O点转过的角度（刚性转动）§2-3物理方程建立：平面问题中应力与应变的关系物理方程也称：本构方程、本构关系、物性方程。1.各向同性弹性体的物理方程在完全弹性和各向同性的情况下，物性方程即为材料力学中的广义虎克（Hooke）定律。（2-13）其中：E为拉压弹性模量；G

6、为剪切弹性模量；μ为侧向收缩系数，又称泊松比。（1）平面应力问题的物理方程注：(1)(2)——物理方程的另一形式由于平面应力问题中（2-15）——平面应力问题的物理方程（2）平面应变问题的物理方程（2-16）——平面应变问题的物理方程（2-13）由于平面应变问题中由式（2-13）第三式，得注：(2)平面应变问题物理方程的另一形式：(1)平面应变问题中，但（3）两类平面问题物理方程的转换：（2-16）——平面应变问题的物理方程——平面应力问题的物理方程（2-15）平面应力问题(1)平面应力问题平面应变问题材料常数的转换为：(

7、2)平面应变问题材料常数的转换为：EE§2-4边界条件1.弹性力学平面问题的基本方程（1）平衡方程：（2-2）（2）几何方程：（2-9）（3）物理方程：（2-15）未知量数：8个方程数：8个结论：在适当的边界条件下，上述8个方程可解。2.边界条件及其分类建立边界上的物理量与内部物理量间的关系。qP边界条件：是力学计算模型建立的重要环节。边界分类（1）位移边界（2）应力边界（3）混合边界——三类边界xyO说明：（1）位移边界条件位移分量已知的边界——位移边界用us、vs表示边界上的位移分量，表示边界上位移分量的已知函数，则位

8、移边界条件可表达为：（2-17）——平面问题的位移边界条件称为固定位移边界。xyOqP（2）应力边界条件给定面力分量边界——应力边界xyOdxdydsPABXNYNN式中：l、m为边界外法线关于x、y轴的方向余弦。如：由前面斜面的应力分析，得式中取：得到：（2-18）——平面问题的应力边界条件垂直x轴的