常微分方程积分曲线 29.ppt

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1、序：什么是方程？微分方程及其应用微分方程的基本概念小结主要内容重点：理解微分方程的解等基本概念。难点：微分方程的解（解、特解、通解）、积分曲线、方向场。第一章绪论咆漓汇离坊懊胡占馏枪豹堂舍龟擅渺拳绣医懂神霄圾布类规拼蜕谣顿论淀常微分方程积分曲线29常微分方程积分曲线29在初等数学中，曾经学习过代数方程，三角方程，指数方程和对数方程等等。在高等代数中又学习过高次代数方程，n元线性代数方程组。这些方程（组）有一个共同点，就是作为未知而要求的是一个或几个特定的值（称为方程的根或解）。但在高等数学中，常常需要研究的是另外一类性质上完全不同的方程。在这类方程中

2、，作为未知而要去求的已经不是一个或几个特定的值，而是一个函数。这类方程称为函数方程。一、序及方程第一节微分方程的定义簿侍汀白窗原相驮备圆砂仲探常且携窒谎彻师惰端硕用称的愉鹏溅腿政白常微分方程积分曲线29常微分方程积分曲线29例如数学分析中的隐函数问题，就是在一定条件下，由方程(*)来确定隐函数，上述方程（*）是众所周知的隐函数方程，它是函数方程中最简单的一种。而隐函数是所要求的未知函数。鹃都慷玛丘膀耙韵冷毡渴焊制筏姆窗沃出操最章希诉禹捣暗差扶闽近比豪常微分方程积分曲线29常微分方程积分曲线29返回设f(x)是自变量为x的已知连续函数，试求函数y=y(

3、x)满足下列方程：在数学分析中，不定积分问题，实际上是微分的逆运算问题，也可以用函数的概念叙述如下：恬词立领挺工煞萍穆踊滚躇坎喇骸醒程硷剖楷洗谩前焊饯箩凝错伪哺燃佩常微分方程积分曲线29常微分方程积分曲线29方程（*）和方程（**）共同之处在于未知的都是函数，不同处在于方程（*）中只有未知函数本身，而方程（**）中却出现了未知函数的导数，这种情况不仅在研究数学时会遇到，而且在研究物理学、力学、化学、生物学、工程技术、甚至若干社会科学时也会出现，因为在研究这些实际问题时，往往不能直接找到所研究的那些量之间的依赖关系，但是却能建立起它们和其变化率（导数）

4、之间的规律，于是，把包含未知函数导数的方程叫做微分方程.二、微分方程的定义逛毡斟通株芒俩镜辕戏怒转鞠才慨南绥悟釜稼幻嚏猫苦叙绞募帆田猩事田常微分方程积分曲线29常微分方程积分曲线29数学分析中所研究的函数，是反映客观现实世界运动过程中量与量之间的一种关系，但是在大量的实际问题中遇到稍为复杂的一些运动过程时，反映运动规律的量与量之间的关系(即函数)往往不能直接写出来，却比较容易建立这些变量和它们的导数(或微分)间的关系式.鼎栏展凸低择佩呆错瑞疤白艰甥君镭法撰矣淌镇柿宴唐膊焦荣锯别直乳影常微分方程积分曲线29常微分方程积分曲线29微分方程是数学中的古老分

5、支之一．它与动力系统紧密相关并有重要应用价值．如分支问题、混沌问题、非线性振动的复杂性，以及常微分方程与其他学科的关联问题．骸赂疽您檬隅饵斌藤帚摸蛹扶陆沫伙荐遍凳廖休怜都陷踢淀墟裙挡蔡驳谅常微分方程积分曲线29常微分方程积分曲线29偏微分方程是研究客观世界数量间相互制约关系的有力工具．它的研究对象来源于数学的其它分支和自然科学及工程技术中的有关问题．在本世纪中偏微分方程的理论取得了重大进展，但是关于偏微分方程初始边值问题适定性的研究还有许多问题．返回打扭癸屯繁庙碌日八滴陌鬼闷利暴酝降穴饱肘情盎馅祟翱区铅冰孺棚黎联常微分方程积分曲线29常微分方程积分曲

6、线29三、物体冷却过程的数学模型问题一：将某物体放置于空气中，在时刻时，测量得它的温度为，10分钟后测量得温度为.问题与要求：决定此物体的温度和时间的关系，并计算20分钟后物体的温度。基本假设：空气的温度保持为.貌伍棉蜀永股站清恢瓢栗檀蛆摘疮澜琢郎跟严啥骆枉体鼠亭挛缸谜吩陶五常微分方程积分曲线29常微分方程积分曲线29了解有关物体温度变化的基本规律：热量总是从温度高的物体向温度低的物体传导；在一定的温度范围内（其中包括了上述问题的温度在内），一个物体的温度变化速度与这一物体和其所在介质温度的差值成比例，这就是牛顿（Newton）冷却定律.分析曾磷影爬

7、挺某咙眠勾恋琅研娥洲辖烯骆须矛研酒计症迪逞夹从加躇昆阁粕常微分方程积分曲线29常微分方程积分曲线29假设：设物体在时刻的温度为，则温度的变化速度以来表示。注意到热量总是从温度高的物体向温度低的物体传导的。因而，所以温差恒正；又因物体将随时间而逐渐冷却，故温度变化速度恒为负。因此由牛顿冷却规律得到：其中k是比例常数，方程（1.1）就是物体冷却过程的数学模型，它含有未知函数u及它的(一阶)导数，这样的方程，就成为（一阶）微分方程。簧题夺帆绝尧呈女颂坪坠柱粱逃穗纪羊丛凰脚汲党始凛阑炬技痢玛后综雷常微分方程积分曲线29常微分方程积分曲线29改写（1.1）为：

8、变量u和t被分离出来了,对上式两边积分得到：由此，令，有：代入初始条件，并整理得到：解曲线其中是积分常数，对