数学人教版八年级上册角平分线的性质判定.ppt

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1、12.3角的平分线的性质(一)六指中学吴秀飞不利用工具,请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角。你有什么办法?AOBC活动1再打开纸片,看看折痕与这个角有何关系?(对折)情景问题1、如图,是一个角平分仪,其中AB=AD,BC=DC。将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线,你能说明它的道理吗?活动2ADBCE如果前面活动中的纸片换成木板、钢板等没法折的角,又该怎么办呢?证明:在△ACD和△ACB中AD=AB(已知)DC=BC(已知)CA=CA(公共边)∴△A

2、CD≌△ACB(SSS)∴∠CAD=∠CAB(全等三角形的对应边相等)∴AC平分∠DAB(角平分线的定义)ADBCE根据角平分仪的制作原理怎样作一个角的平分线?(不用角平分仪或量角器)OABCE活动3NOMCENM新知探究1〉平分平角∠AOB2〉通过上面的步骤,得到射线OC以后,把它反向延长得到直线CD,直线CD与直线AB是什么关系?3〉结论:作平角的平分线即可平分平角,由此也得到过直线上一点作这条直线的垂线的方法。活动4ABOCD经历实验过程,发现并证明角的平分线的性质如图,任意作一个角∠AOB,作出

3、∠A的平分线OC,在OC上任取一点P,过点P画出OA,OB的垂线,分别记垂足为D,E,测量PD,PE并作比较,你得到什么结论?问题2利用尺规我们可以作一个角的平分线,那么角的平分线有什么性质呢?ABOPCDE活动4经历实验过程,发现并证明角的平分线的性质问题2利用尺规我们可以作一个角的平分线,那么角的平分线有什么性质呢?在OC上再取两个点试一试.通过以上测量,你发现了角的平分线的什么性质?ABOPCDE猜想:角平分线上的点到角两边的距离相等。证明:∵OC平分∠AOB(已知)∴∠1=∠2(角平分线的定义)

4、∵PD⊥OA,PE⊥OB(已知)∴∠PDO=∠PEO(垂直的定义)在△PDO和△PEO中∠PDO=∠PEO(已证)∠1=∠2(已证)OP=OP(公共边)∴△PDO≌△PEO(AAS)∴PD=PE(全等三角形的对应边相等)PAOBCED12已知:如图,OC平分∠AOB,点P在OC上,PD⊥OA于点D,PE⊥OB于点E求证:PD=PE验证猜想角平分线上的点到角两边的距离相等。利用此性质怎样书写推理过程?∵OC平分∠AOB,点P在OC上PD⊥OA,PE⊥OB(已知)∴PD=PE(全等三角形的对应边相等)PAO

5、BCED12角平分线的性质定理追问2由角的平分线的性质的证明过程,你能概括出证明几何命题的一般步骤吗?(1)明确命题中的已知和求证;(2)根据题意,画出图形,并用数学符号表示已知和求证;(3)经过分析,找出由已知推出求证的途径,写出证明过程.活动5追问3角的平分线的性质的作用是什么?经历实验过程,发现并证明角的平分线的性质主要是用于判断和证明两条线段相等,与以前的方法相比,运用此性质不需要先证两个三角形全等.探究角平分线的性质(1)实验:将∠AOB对折,再折出一个直角三角形(使第一条折痕为斜边),然后展

6、开,观察两次折叠形成的三条折痕,你能得出什么结论?活动5(2)猜想:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.解决简单问题,巩固角的平分线的性质练习1下列结论一定成立的是.(1)如图,OC平分∠AOB,点P在OC上,D,E分别为OA,OB上的点,则PD=PE.ABOPCDE练习1下列结论一定成立的是.(2)如图,点P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E,则PD=PE.解决简单问题,巩固角的平分线的性质ABOPCDE练习1下列结论一定成立的是.(3)如图,OC平分∠AOB,点P在OC上,PD⊥O

7、A,垂足为D.若PD=3,则点P到OB的距离为3.(3)解决简单问题,巩固角的平分线的性质ABOPCD在此题的已知条件下,你还能得到哪些结论?练习2如图,△ABC中,∠B=∠C,AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F.求证:EB=FC.解决简单问题,巩固角的平分线的性质ABCDEF解决简单问题,巩固角的平分线的性质例如图,△ABC的角平分线BM,CN相交于点P.求证:点P到三边AB,BC,CA的距离相等.ABCPMN如图:在△ABC中,∠C=90°AD是∠BAC的平分线,DE⊥

8、AB于E,F在AC上,BD=DF;求证:CF=EBACDEBF分析:要证CF=EB,首先我们想到的是要证它们所在的两个三角形全等,即Rt△CDF≌Rt△EDB.现已有一个条件BD=DF(斜边相等),还需要我们找什么条件DC=DE(因为角的平分线的性质)再用HL证明.实践应用知识小结:本节课学习了那些知识?有哪些运用?你学了吗?做了吗?用了吗?1.角平分线的性质定理:在角平分线上的点到角的两边的距离相等2.角平分线的性质定理是证明角相等、线段

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