求解数列通项公式的常用方法.doc

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1、求解数列通项公式的常用方法。一．观察法例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式：（1）9，99，999，9999，…（2）（3）（4）解：（1）变形为：101－1，102―1，103―1，104―1，……∴通项公式为：（2）（3）（4）.观察各项的特点，关键是找出各项与项数n的关系。二、定义法例2：已知数列{an}是公差为d的等差数列，数列{bn}是公比为q的(q∈R且q≠1)的等比数列，若函数f(x)=(x－1)2，且a1=f(d－1)，a3=f(d+1)，b1=f(q+1)，b3=f(q－1)，(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；解：(1)∵a1=f(d－1)

2、=(d－2)2，a3=f(d+1)=d2，∴a3－a1=d2－(d－2)2=2d，∴d=2，∴an=a1+(n－1)d=2(n－1)；又b1=f(q+1)=q2，b3=f(q－1)=(q－2)2，∴=q2，由q∈R，且q≠1，得q=－2，∴bn=b·qn－1=4·(－2)n－1当已知数列为等差或等比数列时，可直接利用等差或等比数列的通项公式，只需求得首项及公差公比。三、      叠加法例3：已知数列6，9，14，21，30，…求此数列的一个通项。解易知∵……各式相加得∴一般地，对于型如类的通项公式，只要能进行求和，则宜采用此方法求解。四、叠乘法例4：在数列｛｝中，=1,(

3、n+1)·=n·，求的表达式。解：由(n+1)·=n·得，=··…=所以一般地，对于型如=(n)·类的通项公式，当的值可以求得时，宜采用此方法。五、公式法若已知数列的前项和与的关系，求数列的通项可用公式求解。例5：已知下列两数列的前n项和sn的公式，求的通项公式。（1）。（2）解：（1）===3此时，。∴=3为所求数列的通项公式。（2），当时由于不适合于此等式。∴注意要先分n=1和两种情况分别进行运算，然后验证能否统一。例6.设数列的首项为a1=1，前n项和Sn满足关系求证：数列是等比数列。解析：因为所以所以，数列是等比数列。六、阶差法例7.已知数列的前项和与的关系是，其中

4、b是与n无关的常数，且。求出用n和b表示的an的关系式。解析：首先由公式：得：利用阶差法要注意：递推公式中某一项的下标与其系数的指数的关系，即其和为。七、待定系数法例8：设数列的各项是一个等差数列与一个等比数列对应项的和，若c1=2，c2=4，c3=7，c4=12，求通项公式cn解：设点评：用待定系数法解题时，常先假定通项公式或前n项和公式为某一多项式，一般地，若数列为等差数列：则，（b、ｃ为常数），若数列为等比数列，则，。八、辅助数列法有些数列本身并不是等差或等比数列，但可以经过适当的变形，构造出一个新的数列为等差或等比数列，从而利用这个数列求其通项公式。例9.在数列中，

5、，，，求。解析：在两边减去，得∴是以为首项，以为公比的等比数列，∴，由累加法得==…===例10.设为常数，且（），证明：对任意n≥1，证明：设，用代入可得∴是公比为，首项为的等比数列，∴（），即：型如an+1=pan+f(n)(p为常数且p≠0,p≠1)可用转化为等比数列等.(1)f(n)=q(q为常数)，可转化为an+1+k=p(an+k)，得{an+k}是以a1+k为首项，p为公比的等比数列。例11：已知数的递推关系为，且求通项。解：∵∴令则辅助数列是公比为2的等比数列∴即∴例12：已知数列｛｝中且（），，求数列的通项公式。解：∵∴，设，则故｛｝是以为首项，1为公差的

6、等差数列∴∴例13.设数列的首项．（1）求的通项公式；解：（1）由整理得．又，所以是首项为，公比为的等比数列，得注：一般地，对递推关系式an+1=pan+q(p、q为常数且，p≠0，p≠1)可等价地改写成则{}成等比数列，实际上，这里的是特征方程x=px+q的根。(2)f(n)为等比数列，如f(n)=qn(q为常数)，两边同除以qn，得，令bn=，可转化为bn+1=pbn+q的形式。例14.已知数列{an}中，a1=，an+1=an+（）n+1，求an的通项公式。解：an+1=an+（）n+1乘以2n+1得2n+1an+1=(2nan)+1令bn=2nan则bn+1=bn+

7、1易得bn=即2nan=∴an=(3)f(n)为等差数列例15.已知已知数列{an}中，a1=1，an+1+an=3+2n，求an的通项公式。解：∵an+1+an=3+2n，an+2+an+1=3+2(n+1)，两式相减得an+2-an=2因此得，a2n+1=1+2(n-1),a2n=4+2(n-1),∴an=。注：一般地，这类数列是递推数列的重点与难点内容，要理解掌握。(4)f(n)为非等差数列，非等比数列例16.在数列中，，其中．（Ⅰ）求数列的通项公式；解：由，，可得，所以为等差数列，其公差为1，首项为0，故，