圆的标准方程与一般方程.doc

《圆的标准方程与一般方程.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、圆的标准方程1、情境设置：在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么？圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢？什么叫圆？在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么，原是否也可用一个方程来表示呢？如果能，这个方程又有什么特征呢？探索研究：2、探索研究：确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为A(a,b)，半径为r。（其中a、b、r都是常数，r>0）设M(x,y)为这个圆上任意一点，那么点M满足的条件是（引导学生自己列出）P={M

2、

3、MA

4、=r},由两点间的距离公式让学生写出点M适合的条件①化简可得：②引导学生自己证明为圆的方程，得出结论。方程

5、②就是圆心为A(a,b),半径为r的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程。3、知识应用与解题研究例（1）：写出圆心为半径长等于5的圆的方程，并判断点是否在这个圆上。分析探求：可以从计算点到圆心的距离入手。探究：点与圆的关系的判断方法：（1）>，点在圆外（2）=，点在圆上（3）<，点在圆内例（2）：的三个顶点的坐标是求它的外接圆的方程师生共同分析：从圆的标准方程可知，要确定圆的标准方程，可用待定系数法确定三个参数.（学生自己运算解决）例(3):已知圆心为的圆经过点和,且圆心在上,求圆心为的圆的标准方程.师生共同分析：如图确定一个圆只需确定圆心位置与半径大小.圆心为的圆经过点和,由于圆

6、心与A,B两点的距离相等，所以圆心在险段AB的垂直平分线m上，又圆心在直线上，因此圆心是直线与直线m的交点，半径长等于或。（教师板书解题过程）总结归纳：（教师启发，学生自己比较、归纳）比较例（2）、例(3)可得出外接圆的标准方程的两种求法：①、根据题设条件，列出关于的方程组，解方程组得到得值，写出圆的标准方程.根据确定圆的要素，以及题设条件，分别求出圆心坐标和半径大小，然后再写出圆的标准方程.课堂练习：课本第1、3、4题4.提炼小结：1、圆的标准方程。2、点与圆的位置关系的判断方法。3、根据已知条件求圆的标准方程的方法。圆的一般方程教学环节教学内容师生互动设计意图课题引入问题：求

7、过三点A(0，0)，B(1，1)，C(4，2)的圆的方程.利用圆的标准方程解决此问题显然有些麻烦，得用直线的知识解决又有其简单的局限性，那么这个问题有没有其它的解决方法呢？带着这个问题我们来共同研究圆的方程的另一种形式——圆的一般方程.让学生带着问题进行思考设疑激趣导入课题.概念形成与深化请同学们写出圆的标准方程：(x–a)2+(y–b)2=r2，圆心(a，b)，半径r.把圆的标准方程展开，并整理：x2+y2–2ax–2by+a2+b2–r2=0.取D=–2a，E=–2b，F=a2+b2–r2得x2+y2+Dx+Ey+F=0①这个方程是圆的方程.反过来给出一个形如x2+y2+Dx

8、+Ey+F=0的方程，它表示的曲线一定是圆吗？把x2+y2+Dx+Ey+F=0配方得②(配方过程由学生去完成)这个方程是不是表示圆？（1）当D2+E2–4F＞0时，方程②表示以为圆心，为半径的圆；（2）当D2+E2–4F=0时，方程只有实数解，即只表示一个点；（3）当D2+E2–4F＜0时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形.综上所述，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的曲线不一定是圆.只有当D2+E2–4F整个探索过程由学生完成，教师只做引导，得出圆的一般方程后再启发学生归纳.圆的一般方程的特点：（1）①x2和y2的系数相同，不等于0.②没有xy这样的二次项.（2）圆的一

9、般方程中有三个特定的系数D、E、F，因此只要求出这三个系数，圆的方程就确定了.（3）与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显.通过学生对圆的一般方程的探究，使学生亲身体会圆的一般方程的特点，及二元二次方程表示圆所满足的条件.＞0时，它表示的曲线才是圆，我们把形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的表示圆的方程称为圆的一般方程.应用举例例1判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是，请求出圆的圆心及半径.（1）4x2+4y2–4x+12y+9=0（2）4x2+4y2–4x+12y+11=0解析：（1）将原方

10、程变为x2+y2–x+3y+=0D=–1，E=3，F=.∵D2+E2–4F=1＞0∴此方程表示圆，圆心（，），半径r=.（2）将原方程化为x2+y2–x+3y+=0D=–1，E=3，F=.D2+E2–4F=–1＜0∴此方程不表示圆.学生自己分析探求解决途径：①用配方法将其变形化成圆的标准形式.②运用圆的一般方程的判断方法求解.但是，要注意对于（1）4x2+4y2–4x+12y+9=0来说，这里的D=–1，E=3，而不是D=–4，E=12，F=9.通过例题讲解使学生理解圆的一般方程