（新课标）高考数学专题一三角函数与解三角形第2讲三角恒等变换与解三角形练习理新人教A版.docx

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1、第2讲　三角恒等变换与解三角形[A组　夯基保分专练]一、选择题1．(2019·湖南省五市十校联考)已知函数f(x)＝2sinxcosx＋2cos2x＋1，则(　　)A．f(x)的最小正周期为π，最大值为3B．f(x)的最小正周期为π，最大值为4C．f(x)的最小正周期为2π，最大值为3D．f(x)的最小正周期为2π，最大值为4解析：选B．f(x)＝2sinxcosx＋2cos2x＋1＝sin2x＋cos2x＋2＝2sin(2x＋)＋2，则f(x)的最小正周期为＝π，最大值为2＋2＝4.故选B．2．(2019·高考全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知asinA－bsi

2、nB＝4csinC，cosA＝－，则＝(　　)A．6　　　　　　　　　　　B．5C．4D．3解析：选A．由题意及正弦定理得，b2－a2＝－4c2，所以由余弦定理得，cosA＝＝＝－，得＝6.故选A．3．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若c＝2a，bsinB－asinA＝asinC，则sinB为(　　)A．　　　　　　　　B．C．D．解析：选A．由bsinB－asinA＝asinC，且c＝2a，得b＝a，因为cosB＝＝＝，所以sinB＝＝.4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a，b，c成等比数列，且a2＝c2＋ac－bc，则＝(　　)A．B．C．D．解

3、析：选B．由a，b，c成等比数列得b2＝ac，则有a2＝c2＋b2－bc，由余弦定理得cosA＝＝＝，故A＝，对于b2＝ac，由正弦定理得，sin2B＝sinAsinC＝·sinC，由正弦定理得，＝＝＝.故选B．5．(一题多解)在△ABC中，已知AB＝，AC＝，tan∠BAC＝－3，则BC边上的高等于(　　)A．1B．C．D．2解析：选A．法一：因为tan∠BAC＝－3，所以sin∠BAC＝，cos∠BAC＝－.由余弦定理，得BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB·cos∠BAC＝5＋2－2×××＝9，所以BC＝3，所以S△ABC＝AB·ACsin∠BAC＝×××＝，所以BC边上的高h＝＝＝1

4、，故选A．法二：因为tan∠BAC＝－3，所以cos∠BAC＝－<0，则∠BAC为钝角，因此BC边上的高小于，故选A．6.如图，在△ABC中，∠C＝，BC＝4，点D在边AC上，AD＝DB，DE⊥AB，E为垂足．若DE＝2，则cosA等于(　　)A．B．C．D．解析：选C．依题意得，BD＝AD＝＝，∠BDC＝∠ABD＋∠A＝2∠A.在△BCD中，＝，＝×＝，即＝，由此解得cosA＝.二、填空题7．若sin＝，则cos＝________．解析：依题意得cos＝－cos＝－cos＝2sin2－1＝2×－1＝－.答案：－8．已知a，b，c是△ABC中角A，B，C的对边，a＝4，b∈(4，6)，sin

5、2A＝sinC，则c的取值范围为________．解析：由＝，得＝，所以c＝8cosA，因为16＝b2＋c2－2bccosA，所以16－b2＝64cos2A－16bcos2A，又b≠4，所以cos2A＝＝＝，所以c2＝64cos2A＝64×＝16＋4b.因为b∈(4，6)，所以32

6、nC　①，又由已知，得cos(A－C)＋cos(A＋C)＝，可得cosAcosC＝　②，②－①，得－sin2B＝－cosB，所以cos2B＋cosB－＝0，解得cosB＝或cosB＝－(舍去)，所以B＝60°，再由题得cos(A－C)＝1，则A－C＝0，即A＝C，则a＝c，所以△ABC为正三角形，则∠ACD＝120°，AC＝b，CD＝2－b，故S△ACD＝×b×(2－b)×≤＝，当且仅当b＝2－b，即b＝1时取等号．故填.法二：由题意知b2＝ac，且cos(A－C)＋cos(A＋C)＝，即cosAcosC＋sinAsinC＋cosAcosC－sinAsinC＝，即cosAcosC＝，由余弦定

7、理得·＝，整理得b4－(a2－c2)2＝b4，所以a2－c2＝0，即a＝c，又b2＝ac，所以a＝b＝c，即△ABC为正三角形，所以S△ACD＝S△ABD－S△ABC＝×2×c×－c2＝－(c－1)2＋≤，当c＝1时取等号，故填.答案：三、解答题10．(2019·广东六校第一次联考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2＋c2－b2＝abcosA＋a2cosB．(1)求角B；(2)若b＝2，