高中数学第二讲证明不等式的基本方法2.3反证法与放缩法2.3.1反证法课堂导学案新人教选修.docx

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1、2.3.1反证法课堂导学三点剖析一,熟悉反证法证明不等式的步骤【例1】设f(x)、g(x)是定义在［0,1］上的函数，求证:存在x0、y0∈［0,1］，使x0y0-f(x0)-g(y0)≥.证明:用反证法.假设对［0,1］内的任意实数x,y均有xy-f(x)-g(y)<，考虑对x,y在［0,1］内取特殊值:(1)取x=0,y=0时，有0×0-f(0)-g(0)<,∴f(0)+g(0)<;(2)取x=1,y=0时，有1×0-f(1)-g(0)<,∴f(1)+g(0)<;(3)取x=0,y=1时，有0×1-f

2、(0)-g(1)<,∴f(0)+g(1)<;(4)取x=1,y=1时，有1×1-f(1)-g(1)<,∴1-f(1)-g(1)<.∵1=1-f(1)-g(1)+f(0)+g(1)+f(1)+g(0)-f(0)-g(0),∴1≤1-f(1)-g(1)+f(0)+g(1)+f(1)+g(0)+f(0)+g(0)<+++=1.∴1<1，矛盾，说明假设不能成立.故要证结论成立.各个击破类题演练1求证:如果a>b>0，那么(n∈N且n>1).证明:假设不大于有两种情况:或者.由推论2和定理1，当时，有a

3、有a=b，这些都与已知a>b>0矛盾，所以.变式提升1求证:如果a>b>0,那么<.证明:假设≥,则-=≥0.∵a>b>0,∴a2b2>0.∴b2-a2=(b+a)(b-a)≥0.∵a>b>0,∴b+a>0.∴b-a≥0,即b≥a.这与已知a>b矛盾.∴假设不成立，原结论<成立.二、什么时候用反证法证明不等式【例2】设0

4、结论出发，推出与题设矛盾的结果来.证明:假设(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a三个数都大于,即(1-a)b>,(1-b)c>,(1-c)a>.以上三式相乘得(1-a)b5(1-b)c5(1-c)a>,亦即(1-a)a5(1-b)b5(1-c)c>.①又∵00,y>0,且x+y>2,求证:与中至少有一个小于

5、2.证明:假设、都不小于2，则≥2,≥2.∵x>0,y>0,∴1+y≥2x,1+x≥2y,2+x+y≥2(x+y).∴x+y≤2，这与已知x+y>2矛盾.故假设不成立，原题得证.变式提升2设a,b,c均为正数且a+b+c=1,求证:a2+b2+c2≥.证明:∵ab≤,bc≤,ca≤,三式相加得ab+bc+ca≤a2+b2+c2.假设a2+b2+c2<,由1=a+b+c,∴1=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)≤a2+b2+c2+2(a2+b2+c2)=3(a2+b2+c2)<3×=

6、1,即1<1,显然不成立.三、体会反证法证明不等式的优越性【例3】若△ABC三边a,b,c的倒数成等差数列,则∠B<.证明:假设∠B≥,则b边最大,有b>a,b>c.∴>,>.两式相加得+>,这与题设+=相矛盾.因此,假设是错误的,∴∠B<.温馨提示证明过程就那么简单,推出矛盾也这般容易!用反证法证明不等式思路清清爽爽,有化难为易的功效.类题演练3若a<1,b<1,求证:<1.证明:假设≥1,则a+b≥1+ab.∴a2+b2+2ab≥1+2ab+a2b2.∴a2+b2-a2b2-1≥0.∴a2-1-b2(

7、a2-1)≥0.∴(a2-1)(1-b2)≥0.∴即a2≥1,b2≤1或a2≤1,b2≥1,与已知矛盾.∴<1.变式提升3已知f(x)=x2+px+q,求证:f(1),f(2),f(3)中至少有一个不小于.证明:用反证法.假设f(1),f(2),f(3)都小于,则f(1)+2f(2)+f(3)<2,而f(1)+2f(2)+f(3)≥f(1)+f(3)-2f(2)=(1+p+q)+(9+3p+q)-(8+4p+2q)=2,相互矛盾.∴f(1),f(2),f(3)中至少有一个不小于.