大学物理静电场练习题及答案.doc

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1、.练习题7-1两个点电荷所带电荷之和为Q,它们各带电荷为多少时,相互间的作用力最大?解:这是一个条件极值问题。设其中一个点电荷带电q,则另一个点电荷带电,两点电荷之间的库仑力为由极值条件,得又因为<0这表明两电荷平分电荷Q时,它们之间的相互作用力最大。7-2两个相同的小球,质量都是m,带等值同号的电荷q,各用长为l的细线挂在同一点,如图7-43所示。设平衡时两线间夹角2很小。(1)试证平衡时有下列的近似等式成立:式中x为两球平衡时的距离。(2)如果l=1.20m,m=10g,x=5.0cm,则每个小球上的电荷量q是多少?(3)如果每个球以

2、的变化率失去电图7-43练习题7-2图荷,求两球彼此趋近的瞬时相对速率dx/dt是多少?解:(1)带电小球受力分析如图解所示。小球平衡时,有由此二式可得..因为很小,可有,再考虑到可解得(2)由上式解出(3)由于带入数据解得合力的大小为令,即有由此解得粒子受力最大的位置为..llll+q+qP-q-qOx图7-45练习题7-4用图7-4由相距较近的等量异号电荷组成的体系称电偶极子,生物细胞膜及土壤颗粒表面的双电层可视为许多电偶极子的集合。因此,电偶极子是一个十分重要的物理模型。图7-45所示的电荷体系称电四极子,它由两个电偶极子组合而成,

3、其中的和均为已知,对图7-44中的点(平行于正方形的一边),证明当x»l时其中,p=ql称电偶极矩。解:电四极子可看成两个电偶极子的组合。设左边和右边两个电偶极子在P点产生的场强分别为E左和E右,由教材例题7-3可知其中,p=ql。点处的合场强为由于x»l上式可简化为证毕。..7-5如图7-46所示,长为l的细直线OA带电线密度为,求下面两种情况下在线的延长线上距线的端点O点为b的P点的电场强度:(1)为常量,且>0;(2)=kx,k为大于零的常量,(0≤x≤1)。bxAOP图7-46练习题7-5用图解:(1)将带电直线分割成无数个长度元

4、dx,dx的坐标是x。它所带的电荷元dq=dx,dq在P点产生的电场强度的大小为因为所有电荷元产生的场强方向都相同,所以场强的矢量叠加可用代数方法相加。于是带电直线在P点产生的电场强度为方向沿x轴的负方向。(2)同样取电荷微元dq=dx=kxdx同理方向沿x轴的负方向。..7-6一个半径为R的半圆细环上均匀地分布电荷Q,求环心处的电场强度。解:分析在求环心处的电场强度时,不能将带电半圆环视作点电荷。现将其抽象为带电半圆弧线.在弧线上取线元dl,其电荷,此电荷元可视为点电荷,它在O点的电场强度为因圆环上电荷对y轴呈对称性分布,电场分布也是轴

5、对称的,则有点O的合电场强度为习题7-6用图其中,负号表示场强方向与y方向相反。将,,带入上式,积分得负号表示场强方向与y方向相反..7-7一个半径为R的带电圆盘,电荷面密度为,求:(1)圆盘轴线上距盘心为x处的任一点的电场强度;(2)当R→∞时,P点的电场强度为多少?(3)当x»R时,P点的电场强度又为多少?练习题7-7用图解:(1)在半径为R的带电圆盘上取内半径为r、外半径为r+dr的细圆环,如图所示。利用教材中例题7-5的结果可知,该细圆环上的电荷在P点产生的场强为于是,整个圆盘上的电荷在P点产生的场强为(1)当时,R»x。此时,上

6、式可化为即此时可将带电圆盘看作无限大带电平面。(3)当x»R时,可将带电圆盘看作点电荷,此时P点电场强度为..7-8图7-47为两个分别带有电荷的同心球壳系统。设半径为和的球壳上分别带有电荷和,求:(1)I、II、III三个区域中的场强;R1R2Q1Q2IIIIII图7-47练习题7-8用图(2)若=-,各区域的电场强度又为多少?画出此时的电场强度分布曲线(即-关系曲线)。解:(1)在区域I,做半径为r﹤R1的球形高斯面。因为高斯面内无电荷,根据高斯定理=即可得区域I中的电场强度为E1=0在区域II,以为半径做球形高斯面。因为此高斯面内的

7、电荷为Q1,由高斯定理得=由此可解得区域II的电场强度为在区域III,做半径r﹥R2的球形高斯面。由于该高斯面内的电荷为Q1+Q2,由高斯定理可得=..E3=0rR2R1EE-r关系曲线(2)当=-时,根据以上结果易知区域I的场强为E1=0区域II的场强为区域III的场强为E3=0根据上述结果可画出如图所示关系曲线。7-12水分子的电偶极矩为,如果这个电偶极矩是由一对点电荷±e引起的(e为电子电量),那么,它们的距离是多少?如果电偶极矩的取向与强度为的电场方向一致,要使这个电偶极矩倒转成与电场相反的方向需要多少能量(用eV表示)?解:(1

8、)由电偶极矩的定义得(2)若使电偶极矩倒转需要能量为A,则..7-13计算练习题7-8中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ区域中的电势。R1R2Q1Q2IIIIII解:(1)根据题7-8所得Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ区域中的电场分布

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1、.练习题7-1两个点电荷所带电荷之和为Q,它们各带电荷为多少时,相互间的作用力最大?解:这是一个条件极值问题。设其中一个点电荷带电q,则另一个点电荷带电,两点电荷之间的库仑力为由极值条件,得又因为<0这表明两电荷平分电荷Q时,它们之间的相互作用力最大。7-2两个相同的小球,质量都是m,带等值同号的电荷q,各用长为l的细线挂在同一点,如图7-43所示。设平衡时两线间夹角2很小。(1)试证平衡时有下列的近似等式成立:式中x为两球平衡时的距离。(2)如果l=1.20m,m=10g,x=5.0cm,则每个小球上的电荷量q是多少?(3)如果每个球以

2、的变化率失去电图7-43练习题7-2图荷,求两球彼此趋近的瞬时相对速率dx/dt是多少?解:(1)带电小球受力分析如图解所示。小球平衡时,有由此二式可得..因为很小,可有,再考虑到可解得(2)由上式解出(3)由于带入数据解得合力的大小为令,即有由此解得粒子受力最大的位置为..llll+q+qP-q-qOx图7-45练习题7-4用图7-4由相距较近的等量异号电荷组成的体系称电偶极子,生物细胞膜及土壤颗粒表面的双电层可视为许多电偶极子的集合。因此,电偶极子是一个十分重要的物理模型。图7-45所示的电荷体系称电四极子,它由两个电偶极子组合而成,

3、其中的和均为已知,对图7-44中的点(平行于正方形的一边),证明当x»l时其中,p=ql称电偶极矩。解:电四极子可看成两个电偶极子的组合。设左边和右边两个电偶极子在P点产生的场强分别为E左和E右,由教材例题7-3可知其中,p=ql。点处的合场强为由于x»l上式可简化为证毕。..7-5如图7-46所示,长为l的细直线OA带电线密度为,求下面两种情况下在线的延长线上距线的端点O点为b的P点的电场强度:(1)为常量,且>0;(2)=kx,k为大于零的常量,(0≤x≤1)。bxAOP图7-46练习题7-5用图解:(1)将带电直线分割成无数个长度元

4、dx,dx的坐标是x。它所带的电荷元dq=dx,dq在P点产生的电场强度的大小为因为所有电荷元产生的场强方向都相同,所以场强的矢量叠加可用代数方法相加。于是带电直线在P点产生的电场强度为方向沿x轴的负方向。(2)同样取电荷微元dq=dx=kxdx同理方向沿x轴的负方向。..7-6一个半径为R的半圆细环上均匀地分布电荷Q,求环心处的电场强度。解:分析在求环心处的电场强度时,不能将带电半圆环视作点电荷。现将其抽象为带电半圆弧线.在弧线上取线元dl,其电荷,此电荷元可视为点电荷,它在O点的电场强度为因圆环上电荷对y轴呈对称性分布,电场分布也是轴

5、对称的,则有点O的合电场强度为习题7-6用图其中,负号表示场强方向与y方向相反。将,,带入上式,积分得负号表示场强方向与y方向相反..7-7一个半径为R的带电圆盘,电荷面密度为,求:(1)圆盘轴线上距盘心为x处的任一点的电场强度;(2)当R→∞时,P点的电场强度为多少?(3)当x»R时,P点的电场强度又为多少?练习题7-7用图解:(1)在半径为R的带电圆盘上取内半径为r、外半径为r+dr的细圆环,如图所示。利用教材中例题7-5的结果可知,该细圆环上的电荷在P点产生的场强为于是,整个圆盘上的电荷在P点产生的场强为(1)当时,R»x。此时,上

6、式可化为即此时可将带电圆盘看作无限大带电平面。(3)当x»R时,可将带电圆盘看作点电荷,此时P点电场强度为..7-8图7-47为两个分别带有电荷的同心球壳系统。设半径为和的球壳上分别带有电荷和,求:(1)I、II、III三个区域中的场强;R1R2Q1Q2IIIIII图7-47练习题7-8用图(2)若=-,各区域的电场强度又为多少?画出此时的电场强度分布曲线(即-关系曲线)。解:(1)在区域I,做半径为r﹤R1的球形高斯面。因为高斯面内无电荷,根据高斯定理=即可得区域I中的电场强度为E1=0在区域II,以为半径做球形高斯面。因为此高斯面内的

7、电荷为Q1,由高斯定理得=由此可解得区域II的电场强度为在区域III,做半径r﹥R2的球形高斯面。由于该高斯面内的电荷为Q1+Q2,由高斯定理可得=..E3=0rR2R1EE-r关系曲线(2)当=-时,根据以上结果易知区域I的场强为E1=0区域II的场强为区域III的场强为E3=0根据上述结果可画出如图所示关系曲线。7-12水分子的电偶极矩为,如果这个电偶极矩是由一对点电荷±e引起的(e为电子电量),那么,它们的距离是多少?如果电偶极矩的取向与强度为的电场方向一致,要使这个电偶极矩倒转成与电场相反的方向需要多少能量(用eV表示)?解:(1

8、)由电偶极矩的定义得(2)若使电偶极矩倒转需要能量为A,则..7-13计算练习题7-8中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ区域中的电势。R1R2Q1Q2IIIIII解:(1)根据题7-8所得Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ区域中的电场分布

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