原子物理—量子力学基础.ppt

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1、第三章量子力学基础§3.1薛定谔方程德布罗意引入了和粒子相联系的波。粒子的运动用波函数ψ=ψ(r·t)来描述，而粒子在时刻t在各处的概率密度为｜ψ｜2。但是，怎样确定在给定条件(给定一势场)下的波函数呢?式(3.1.1)称作薛定谔方程3.1.1量子力学中的薛定谔方程，相当于经典力学中的牛顿运动定律，是不能从什么更基本的原理中推出来的。它的正确与否，只能由科学实验来检验。实际上，薛定谔方程是量子力学的一个基本原理。我们可以从不同侧面发现薛定谔方程与经典力学概念之间的联系。从形式上看，如在经典关系式(3.1.2)中作如下变换：3.1.2然后作用于

2、波函数ψ，就得到薛定谔方程下面研究定态薛定谔方程在势能V不显含时间的问题中，薛定谔方程可以用一种分离变数的方法求其特解，令特解表为3.1.4代入式(3.1.1)，并把坐标函数和时间函数分列于等号两边：令这常数为E，有3.1.53.1.6于是波函数ψ(r,t)可以写成与自由粒子的波函数比较，可知上式中的常数E就是能量，具有这种形式的波函数所描述的状态称为定态.在定态中几率密度｜ψ(r,t)｜2=｜ψ(r)｜2与时间无关。另一方面，式(3.1.5)右边也等于E，故有这是波函数中与坐标有关的部分ψ(r)所满足的方程，此方程称作定态薛定谔方程例3.1

3、.1试由自由粒子的平面波方程给出建立薛定谔方程的一种方法（1）对（1）x,y,z取二阶偏微商得到等式相边相加，即有为拉普拉斯算符把(1)对t取一阶偏微商如果自由粒子的速度较光速小得多，它的能量公式是p2/2m=E，两边乘以ψ，即得（2）（3）（4）（5）得到一个自由粒子的薛定谔方程。把(3)和(4)代入(5)对于一个处在力场中的非自由粒子，它的总能量等于动能加势能两边乘以ψ自由粒子的薛定谔方程可以按此式推广成（6）（7）（8）（9）薛定谔方程是非相对论微观粒子的基本方程--量子力学基本假设地位同经典物理的牛顿定律薛定谔ErwinSchrodin

4、ger奥地利人1887-1961创立量子力学获1933年诺贝尔物理学奖一维无限深势阱中的粒子一个粒子在两个无限高势垒之间的运动，实际上与一个粒子在无限深势阱中的运动属于同一类问题。设势阱位于x=0及x=a处。势阱之间(图3.2.1中Ⅰ区)，V=0，势阱本身(图3.2.1中Ⅱ，Ⅲ区)，V=∞，求粒子在势阱间的运动情况。薛定谔方程为图3.2.1无限深势阱在Ⅱ，Ⅲ区，只能有ψ=0.因为从物理上考虑，粒子不能存在于势能为无限大的地区，在Ⅰ区，方程简化为(3.2.1)(3.2.3)(3.2.4)式中，A，δ为待定常数，为确定A与δ之值，利用ψ的边界

5、条件及归一化条件。从物理上考虑，粒子不能透过势阱，要求在阱壁及阱外波函数为零，即3.2.2即上式舍去了n=0和n为负值的情况(3.2.5)这个结果表明，粒子在无限高势垒中的能量是量子化的。又由归一化条件由上面的计算，可以看到量子力学解题的一些特点。在解定态薛定谔方程的过程中，根据边界条件自然地得出了能量量子化的特性(3.2.5)，En是体系的能量本征值，相应的波函数ψn是能量本征函数。在一维无限高势垒间粒子运动的特点如下：(3.2.6)(1)能量是量子化的，最低能量E1≠0，这与经典力学大不相同，这是粒子波动性的反映，因为“静止的波”是不存

6、在的。能级的能量依n2规律加大，相邻能级间距越来越大.(2)含时间的波函数是ψ～，这是一个驻波,指数部分表示振动，振幅为(如图3.2.2(b))，在形式上像一个两端固定的弦的驻波振动。这又一次指出，在有限空间内，物质波只能以驻波形式稳定地存在着。(3)粒子在势垒中的概率分布｜ψ｜2是不均匀的，而且有若干概率为零的点(节点)(见图3.2.2(c)).粒子在势阱中的运动，是一种较为常见的现象；金属中的自由电子在各晶格结点(正离子)形成的“周期场”中运动，它们不会自发地逃出金属，简化这个模型，可以粗略地认为粒子被无限高的势能壁束缚在金属之中。氢

7、原子中的电子就是在三维库仑势阱中运动，不过“阱壁”不是直立的，而是按-1/r分布。近来，人们设计制作了一种具有“量子阱”的半导体器件，它具有介观(介于宏观与微观)尺寸的势阱，阱宽约在10nm上下。这种材料具有若干特性，已用于制造半导体激光器、光电检测器、双稳态器件等。金属中的电子方势阱分子束缚在箱子内三维方势肼是实际情况的极端化和简化§3.3势垒贯穿设如图3.3.1，在x=0到x=a之间有一个有限高的一维势垒V=V0.在x<0区域有一个粒子，其动能E

8、=0处遭遇势垒。按经典力学，粒子的能量不够，不能越过势垒，将被反射而折回。但在微观世界则不然，粒子的德布罗意波将部分地穿过势垒。解题如下。粒子的薛定