《积分变换》第1章第1节付氏变换的概念.ppt

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1、《积分变换》主讲教师付立志第一章Fourier变换教学目的与要求：⒈了解Fourier级数的概念和表达形式，及其作用；知道Fourier积分公式的条件和结论。⒉理解Fourier变换的定义，掌握Fourier变换的性质，会求简单函数的Fourier变换。⒊知道卷积定理。教学重点与难点：⒈Fourier积分公式；⒉Fourier变换及性质。引言复杂运算→变换→简单运算一、Fourier变换思想及作用积商运算→对数变换→和差运算复杂函数→分解展开→简单函数（幂级数）在中学有：在高数中有：归结为：象原函数积分变换象函数积分域积

2、分变换核象原函数象函数积分变换二、积分变换示意图变换原理：⑴通过变换找到对应的象函数；⑵通过变换使复杂运算为简单运算；⑶通过逆变换还原，达到简化的目的。庞大家族：连续、离散、快速、分数阶和小波变换。Fourier积分Fourier级数Fourier变换变换对子蚕蛹蝶三、Fourier变换公式的演变过程周期函数一般函数第一回付老师畅谈付氏变换众学生如游云台仙境山石有情作怪态，草木无意化心烦。神龙摆尾不见首，顺溪入谷观瀑台。1.1Fourier变换的概念若f(t)在(－∞，+∞)上满足下列条件：则积分1°在任一有限区间满足狄

3、利克雷条件；2°(绝对可积,或积分收敛)存在,并且在f(t)的间断点t处应以来代替。一、Fourier积分定理特点：⒈由f(τ)到f(t)（自身映射）的二重积分；⒉积分核为复指数。由欧拉（Euler）公式或得Fourier积分公式的三角形式Fourier正弦积分公式Fourier余弦积分公式考虑到是ω的奇函数，有再考虑到是ω的偶函数，于是有由Fourier积分公式设则即：你中有我，我中有你；你可变我，我可变你。象函数象原函数积分变换二、Fourier变换的定义因此叫做的Fourier变换式，可记为而叫做的Fourier

4、逆变换式，可记为注意特点：⑴共性，⑵差异。从本质上看，F(ω)是一个实变量的复值函数（频域函数），f(t)是一个实函数（时域函数），它们是两个不同函数集（或函数空间）的函数。但是，它们通过指定的积分运算可以相互表达。若不考虑间断点上的差异，它们构成了一个“一一对应”的Fourier变换对，且具有相同的奇偶性。从形式上看，它们的共性都是一个广义积分，它们的差异是积分核不同，系数不同。也有其它形式f表示频率当是奇函数时，从（1.3）式出发，则有称为的Fourier正弦变换（简称正弦变换），记为而称为的Fourier正弦逆变换

5、（简称正弦逆变换），记为当是偶函数时，从（1.4）式出发，则有称为的Fourier余弦变换（简称余弦变换），记为而记为称为的Fourier余弦逆变换（简称余弦逆变换），需要说明的是，与Fourier变换一样，Fourier正弦变换和逆变换构成了一一对应的变换对，Fourier余弦变换和逆变换也构成了一一对应的变换对。虽然它们分别针对的是奇函数和偶函数，而对于只有在t>0的时有定义的函数，我们既可以将其当作奇函数（相当于奇延拓），也可以当作偶函数（相当于偶延拓），因此可以分别取正弦变换和余弦变换。我在论文“广义Fourie

6、r正、余弦变换研究”中，已经证明（有关知识，可参考附录Ⅴ）例1作单个矩形脉冲的频谱图。解：因为频谱函数所以例2求函数的付氏积分.解：为0欧拉公式二次分部积分（偶函数）例3设，求出其正弦和余弦变换，并验证解根据（1.7）式，的正弦变换为根据（1.9）式，的余弦变换为对上式取余弦逆变换，得所以，由Fourier积分定理的结论，有当时，有即令，上式即为所以此积分即为著名的狄利克雷（Dirichlet）积分。例4求积分方程解因为所以可把上式看作的正弦逆变换利用正弦变换可得因此小结Fourier级数Fourier积分Fourier

7、变换频域函数时域函数周期延拓延周期，无穷级数变积分。丑陋小鸭成天鹅，潜水苍龙欲腾飞。龙凤壁前泪成瀑，云遮雾盖难相见。风吹云散斜阳照，七色彩虹鹊桥连。作业习题1.1：1.⑵；2.；6.