最小作用原理.pdf

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1、第二篇有限自由度的古典力学古典力学的研究对象是质点，质点的运动过程表现为一条运动轨迹。古典力学的目的就是研究影响质点运动轨迹的各种因素，并求出质点的运动轨迹。本篇主要介绍两种古典力学的形式结构，一种称为拉格朗日（J.L.Lagrange，法国-意大利，1736-1813）程式，另一种为哈密顿（W.R.Hamilton,爱尔兰，1805-1865）程式。泊松（S.D.Poisson,法国，1781-1840）括号程式也会简单提及。对给定势场下的有限自由度系统，这三套抽象程式和牛顿第二定律都是等价的。我们将把最小

2、作用原理作为整个力学形式结构的基石。拉格朗日程式以拉格朗日量为出发点，推导出质点运动轨迹所满足的微分方程（第四章）。哈密顿程式以哈密顿量为出发点，得到正则运动方程组，并进一步引入泊松括号（第五章）。自爱因斯坦以来，对称性成了除实验之外人们建立基本相互作用理论的最主要的依据。拉格朗日量拥有系统所有的对称性，最能体现对称性对系统模型的限制，因此寻找拉格朗日量通常比寻找牛顿第二定律的力函数容易。力的概念涉及力的作用点，对多自由度系统尤其麻烦。找出描写一切物理相互作用的统一拉格朗日量是爱因斯坦的梦想。尽管这个梦想还没

3、有实现，但希望仍然存在，并且仍然有很多杰出的物理学家为之奋斗。哈密顿程式特别适合于描写稳定系统和平衡状态，因为哈密顿量本身对应着时间平移不变的守恒量——能量。在量子力学和平衡态统计物理中广泛使用哈密顿量这个概念。泊松括号程式把运动方程表达为代数关系，在量子力学中也有重要应用。尽管本篇介绍的基本原理可以推广到广义相对论弯曲时空的情形，但是为了简明，只考虑平坦的欧几里德时空。第四章最小作用原理对约束系统和系统的整体性质，最小作用原理比牛顿第二定律更方便。已知有些相互作用涉及空间整体拓扑结构，不能用力来描写，却可以

4、纳入最小作用原理中。把最小作用原理推广到无穷多自由度情形是很方便的。最小作用原理适用于任意自由度数目的系统，包括无穷多自由度的场。但对无穷多自由度系统存在非常困难的技术问题，涉及到收敛性和解的存在性等。所以本篇局限于有限自由度系统。相互作用本质也非本教程的讨论范围，我们将假设相互作用由已知的势场给出。势场可以是自由度之间的相互作用势，也可以是外势。4.1作用量、拉格朗日量和最小作用原理(1)最小作用原理就质点的没有限制的空间运动而言，每个质点有3个自由度，N个质点就有n=3N个自由度。在欧几里德空间中，这些自

5、由度可以选为每个质点位置的笛卡儿坐标。有约束系统的自由度n会比3N少。能够确定系统各质点位置的数目最少的一组变量称为广义坐标，记α为q={q

6、α=1,2,L,n}。已知一组广义坐标q，作坐标变换q′=f(q)，只要函数（组）f(q)连续可微可逆，就得到另一组广义变换q′。因此，存在无穷多组广义坐标。但每套广义坐标的变量数目n是固定的（如果两套广义坐标的变量数目不同，它们之间就不可能存在可逆的变换），称为系统的维数。系统的位置形状（简称位形）和广义坐标一一对应，构成80所谓位形空间。1按照古典力学的基本假设，系

7、统某时刻（t）从q开始，到另时刻（t）运动到q，0A1B中间所经历的轨迹q(t)是唯一的（为了排除大范围运动可能出现多于一条可能轨迹的特殊情形，我们可以加上q和q相距不太远的限制）。古典力学的目标就是要从连接q和q的BAAB所有满足给定约束条件的轨迹（l）中找出一条满足力学规律的“真实”轨迹（l）来（图c3-9和图4-1中的实线）。因此，势必需要一个和轨迹联系起来的物理量，通过这个物理量的大小来判断轨迹是否真实。一个自然的想法是：对任意一条假象的轨迹l（可能是非物理的，但满足给定约束条件，如初始和末尾位置、运

8、动的范围等），引入一个轨迹的函数S[l]（物AB理上称为作用量（action），数学上称为泛函），让这个轨迹的函数当轨迹取为真实轨迹l时c2达到极小值，即对任意[l]≠[l]，有S[l]

9、到q的实线和从q到q的实CACCB线都是真实的，而且从C到B的轨迹对从A到C的轨迹没有影响（因果关系）。如此，SAB极小必然导致S和S都取极小。与此一致，有ACCBS=S+S（4.1）ABACCB对作用量数学性质的一个自然假定是把（4.1）式推广到任意连接A和B的轨迹（包括非物理的），即可加性假设：对一条给定的轨迹作用量满足（4.1）式，其中C点是该轨迹上任意一点。作用量的这个重要性质根源于物理经验