最优控制--极大值原理.ppt

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1、第三章极小值原理及应用经典变分法缺陷：1、应用前提：a、控制量u(t)的取值不受任何限制，没有任何不等式约束。b、f、L、等函数对其自变量有充分可微性。2、实际控制要求：a、控制量u受不等式约束，如：，i=1,2,3……b、性能指标有时并不完全可微如：燃料最优控制：若采用经典变分：若采用经典变分法：不再适用，求不出解来实际应为极小值原理若在容许控制范围内，J或H有极值且唯一，用极小值原理与经典变分法，所得结论一致。一、<定理>极小值原理：[时变系统]时变受控系统，其中控制向量，为容许控制域，U(t)是在内取值的任何分段连续

2、函数，为使状态向量由初始转移到末端，满足约束：，未定，并使性能指标达到极小值。设和是如上J为最小的最优解，为最优状态轨为0的n维向量，满足:1、规范方程：2、边界条件：线，则必存在不3、与对应的哈密顿函数H取极小值。即:设为满足状态方程和协状态方程的最优解。在中。把H仅看作U的函数，若J为最小，必要条使得仅看作U的函数时也取最小值。极小值原理的证明：应用数学基础较多，有些书中用很大篇幅进行二、极小值原理的意义：1、容许控制条件放宽变分法：在整个控制域，对U没有约束有时计算不易。极小值原理：H在U的约束闭集中取极小值。变分法

3、仅为极小值原理的一个特例。件为证明，省略。且即使U不受限制，2、最优控制使哈密顿函数H取极小值，极小值原理由此得名。这一原理是苏联学者“庞特里亚金”等人首先提出，而后加以证明得。在证明过程中：与H得符号与这里所定义的相反。∴所以有的文献中也称为“极大值原理”。3、H对u没有可微要求，因此应用拓宽。4、极小值原来是求取最优控制的必要条件，非充分条件。即：满足极小值原理不一定J取极小值,需进一步判断。一般:对于实际系统有最优解有唯一解最优解三、几种边界条件得讨论：上面所讨论的是和已知。受约束，自由的最一般情况。若和末端状态不同

4、，只需改变极小值原理的边界条件即可。1）已知，边界条件为：2)给定，自由，未给定，边界条件：确定3)已知，给定,末端受约束边界条件为:若自由:外加:四、例题分析:设一阶系统状态方程：x(0)=5控制约束:试求使性能指标:为极小值的最优控制及最优性能指标解:定常系统,固定,末端自由问题根据极小值原理,使H绝对极小相当于使J为极小所以由协状态方程:由横截条件:显然:当时，产生切换所以由x(0)=5代入,得所以令t=0.307可得0.307≤t≤1时x(t)的初始条件:解得所以将代入J可得:例2:求a)对U没有约束b)

5、u

6、解:

7、a)0解得:b)

8、u

9、由极小值原理:当t=1时在[0,1]区间所以五、极小值原理中哈密顿函数H的性质讨论用途：对于所求解的最优控制的验证，或帮助求解最优控制及1、线性定常系统：固定，包括(与末端状态无关)则:常数。{H中不显函t}自由，沿最优控制轨线：（与末端状态无关）因为中不显函t所以常数又因为自由,2、对于时变系统：固定:自由:，末端若末端自由:证明：见胡寿松P91页第四节最小值原理在实际中的应用几个典型例子：1.时间最优控制问题2.最小燃料消耗问题3.最小能量控制问题4.线性调节问题介绍重点：时间最优控制问题（其他求

10、解思想与此类似）一、时间最优控制问题所谓时间最优控制，就是把系统从初始状态转移到目标状态的时间作为性能指标，即使转移时间为最短。这也是发展得最早的最优控制问题之一。1、问题提出（时变系统）已知受控系统并设f和B对X(t)和t连续可微。X：n×1状态向量u：r×1控制向量f：n×1函数向量B：n×r函数值矩阵控制向量约束条件:末端状态：g：p×1维函数向量目标函数：:自由问题：寻求最优控制u*(t)，使系统由初态到终态，目标函数J为最小应用最小值原理进行问题的求解步骤：⑴列写哈密顿函数⑵由控制方程求u*(t)∵u有约束，∴H

11、在u*上取得极小值，即：令q:r×1维向量函数[注：]则有：j=1，2…r最优控制u*(t)是使为极小，则：不定可见：当时，有确定值，正常情况当时，不定，奇异情况＋１－１t+1-1u*(t)奇异我们仅研究正常情况u*(t)写成符号函数sgn{}形式则j=1，2…r向量形式：u*(t)=-sgn{q*(t)}=-sgn{}⑶根据规范方程：及初始条件和横截条件：可求得x*(t)及⑷求最优控制u*(t)→砰一砰控制2、砰一砰控制定理：要求控制量始终为最大或最小设u*(t)是上述问题提出的解，x*(t),是相应的状态轨线和协状态轨

12、线。若问题正常(非奇异)，则这是一个继电器控制方式，称为砰一砰控制3、线性定常系统的最小时间控制问题的解法：⑴如何确定最优控制u*(t)设线性定常系统的状态方程为：其中，X：n×1维状态向量u：控制变量A，B分别为n×n，n×1矩阵约束条件：末端条件：求　　　，使系统状态从　　　　转移到所用时间最短，即