理论力学 动能定理.pdf

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1、第11章动能定理动能定理动能定理:建立动能和力的功的关系T−T=W21121动能定理是标量形式,提供一方程.2动能定理含有路程参数.涉及到2个位置。11.1质点的动能定理vvvvdvdvvvvF=ma=mm⋅dr=F⋅drdtdtvvvvmv⋅dv=F⋅dr12d(mv)=δW2微分形式质点动能的增量等于作用在质点上的力的元功。积分形式v21211d(mv)=W22∫v12mv−mv=W12211222在质点运动的某个过程中，质点动能的改变量等于作用于质点的力作的功。11.2质点和质点系的动能1.质点的动能设质点的质量为m，速度为v，则质点的动能为12T=

2、mv2动能是标量，在国际单位制中动能的单位是焦耳(J)。2.质点系的动能质点系内各质点动能的算术和称为质点系的动能，即12T=∑mvii211.2质点和质点系的动能3、刚体的动能(1)平动刚体的动能121212T=∑mv=v∑m=mviiCiC222(2)定轴转动刚体的动能1212T=∑mv=∑m(rω)iiiii2i2122=ω∑mrii2i12=JωO211.2质点和质点系的动能(3)平面运动刚体的动能d12TJ=PωCω22因为JP＝JC+mdP所以1221212T=(J+md)ω=Jω+m(d⋅ω)CC2221212T=mv+JωCC22平面运动刚

3、体的动能等于随质心平动的动能与绕质心转动的动能的和。11.2质点和质点系的动能4柯尼希定理质点系动能的计算常常用该定理来简化。1212T=mvC+∑mivir22柯尼希定理(König’stheorem),即质点系的动能等于其随质心平动的动能与质点系相对于质心运动的动能之和。例11-1均质细杆长为l，质量为m，上端B靠在光滑的墙上，下端A用铰与质量为M半径为R且放在粗糙地面上的圆柱中心相连（纯滚动），在图示位置圆o柱中心速度为v，杆与水平线的夹角θ=45，求该瞬时系统的动能.BCθvA解:T=TA+TABPB12232TA=JP1ωAJP1=JC+MR=M

4、R22C1⎛32⎞232θTA=×⎜MR⎟ωA=Mvv2⎝2⎠4AP为AB杆的瞬心2v12⎛l⎞12ωΑΒ=JP=ml+m⎜⎟=mllsinθ12⎝2⎠3212mv12T=Jω==mvABPAB226sinθ31()2T=9M+4mv12例11-2滑块A以速度v在滑道内滑A动，其上铰接一质量为m，长为l的均质杆AB，杆以角速度AvAω绕A转动，如图。试求当杆AB与铅垂线的夹角为ϕϕl时，杆的动能。ωB解：AB杆作平面运动，其质心C的速度为vvvv=v+vCACAvAAv由余弦定理CAvCϕvvvvv2222vcos(180o)A=+−−ϕCACAACAωB

5、2211=+vlv()2ωω+lcosϕAA222212=+vllωωϕ+vcosAA411.2质点和质点系的动能杆的动能vAAvCAvCϕvA1122ωBTm=+vJω22CC112221122=++mv(clωlvωϕos)+(ml)ω24AA21211222=++mv(clωωϕlvos)23AA11.2质点和质点系的动能杆的动能vAAAAve+ϕϕ=ϕωBBωB1122+JωmvAA22概念错在那里11.3力的功1常力在直线运动中所作的功设物体在常力F作用下沿直线走过路程s，如图，则力所作的功W定义为vvW=F⋅s=FscosθFθs功是代数量。在

6、国际单位制中，功的单位为：J(焦耳),1J＝1N·m。11.3力的功2变力在曲线运动中所作的功质点M在变力F的作用下沿曲线运动，vvδW=F⋅dr元功力在全路程上作的功等于元功之和dsM2M'MdrθM2vvW=∫F⋅drFM1M111.3力的功vvM2vvδW=F⋅drW=∫F⋅drM1在直角坐标系中uurrrurrrrurF=++FFFijk,ddddr=++xiyjzkxyzδWFxFyFz=++dddxyzM2WF=+(dxFdy+Fd)z∫xyzM1上式称为直角坐标法表示的功的计算公式，也称为功的解析表达式。11.3力的功M23常见力的功WF=+

7、(dxFdy+Fd)z∫xyzM11)重力的功zM1MFxyz=0,FFm==0,−gz1M2mgyOz2zWm=−()gd()zm=gzz−212∫12z1x重力的功等于质点系的总重量与其重心高度差之乘积,重心降低为正,重心升高为负。重力的功仅与重心的始末位置有关，而与重心走过的路径无关。常见力的功2)弹力的功FA0弹性力的大小与其变δAA形量δ成正比。设弹1dr簧原长为l0,则弹力rδ1r的功为1r0r2lA12202δ2W=k(δ−δ)O12122弹性力作的功只与弹簧在初始和末了位置的变形量有关，与力的作用点A的轨迹形状无关。作功与路径无关的力成为保

8、守力。弹簧原长R，刚性系例例1111--33数k，一端固定在点O，