广义特征向量几种算法的比较.pdf

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1、第20卷第1期大学数学Vol.20,№.12004年2月COLLEGEMATHEMATICSFeb.2004广义特征向量几种算法的比较黄力民(中国计量学院数学系,杭州310034)关于求一个矩阵Jordan标准型的变换矩阵问题须计算矩阵的广义特征向量,目前常见的矩阵理论教材中有下述两种方法.下设A是n×n阶矩阵,K是A的某特征值,其代数重数为r,几何重数为s且r>s.方法1由方程(A-KI)x=0解出A的特征向量p,由(A-KI)x=p解出第一个广义特征向量q,这里的p不能是任一特征向量而应是A的K特征子空间内使方程(A-KI)x=p有解的那一个.设A的K特征子空间的基是

2、p1,p2,⋯,ps,当s>1时正确的说法是:通过选择系数k1,k2,⋯,ks由方程(A-KI)x=k1p1+k2p2+⋯+ksps解出第一个广义特征向量q.教材[1,2,3,4]均采用本解法,解法在理论上严格成立,但显然实际的计算较繁.而且方程(A-KI)x=p在有解时必定是无穷多解,选择哪一个作为q才能由方程(A-KI)x=q解出第二个广义特征向量呢?类似的问题将会一再地出现,除教材[2]外[1,3,4]也未就此作出说明.教材[5]未提及方程(A-KI)x=p可能无解的问题,该书所举例恰好也只限于s=1的情形.教材[7]考虑到方程(A-KI)x=p可能无解的问题,但不

3、是用上述待定ki的办法,而是要求p同时满足(A-KI)x=0与Bx=0,这里矩阵B由方程B(A-KI)x=O确定(顺便指出[7]p.83例4的一处错误:在解方程(A-KI)x=p时得到的解集合不能是子空间),这在实际计算方面与表达方式方面都使问题更加复杂.2方法2由方程(A-KI)x=0解出A的特征向量p,由方程(A-KI)x=0解出A的第一个广义特征向量q等等,教材[6]采用此法.但本解法有可能发生错误的结果:虽然式(A-KI)[(A-KI)q]=0表明[(A-KI)q]是A的特征向量,[(A-KI)q]却不一定等于p,也就是关系式Aq=Kq+p可能不成立.例如[6]第

4、4章例22(p.135):0004100-4A=,K=2,2,1,-1.010-30014T2T对于特征值2已得特征向量A1=(2,-1,-2,1),但在解(A-2I)x=0时称“可选A2=(-1,0,1,0)”T2([6]p.137第4行)是不妥的,因为若取A2=(0,1,0,-1)也是(A-2I)x=0的解,却使AA2=2A2+A12T不成立.此处应改为“在(A-2I)x=0的解中选取A2=(-1,0,1,0)以使等式AA2=2A2+A1成立”.鉴于以上两种解法均有缺陷,本文提出一种较好的解法:仍设A是n×n阶矩阵,K是矩阵A的某特征值,其代数重数为r、几何重数为s且

5、r>s,K对应的nn+1Jordan块最大阶数是n1(可根据关系式rank(A-KI)1=rank(A-KI)1确定矩阵A关于K的Jordann块最大阶数n1),则有rank(A-KI)1=n-r.矩阵A关于K的全部特征向量、广义特征向量都属于方程n(A-KI)1x=0的解空间,因而它们也是该解空间的基.[收稿日期]2002209227第1期黄力民:广义特征向量几种算法的比较119n第一步求方程(A-KI)1x=0的解,记为p1=k1x1+k2x2+⋯+ksxs;第二步依次计算p2=(A-KI)p1,p3=(A-KI)p2,⋯,pn=(A-KI)pn-1.(1)11计算中

6、保持每个pi均表示为s个列向量的线性组合,即i-1i-1i-1pi=k1(A-KI)x1+k2(A-KI)x2+⋯+ks(A-KI)xs.以下称这s个列向量的组为对应于pi的向量组;第三步非零的pn是矩阵A属于K的特征向量,pn-1,⋯,p1是广义特征向量,其组数或n1阶11Jordan块的个数是对应于pn的向量组的秩数,将对应于pn的向量组中最大线性无关组之一向量的系11数取为1其余ki值均取0,(1)式便给出了对应于n1阶Jordan块的一组特征向量、广义特征向量,其余各组(若有的话)可类似获得;第四步在pn的表达式中取不全为零的ki使pn=0,在这组ki值下计算pn

7、-1,若pn-1≠0,则1111pn-1也是矩阵A属于K的特征向量,类似于第三步求出对应于(n1-1)阶Jordan块的一组或几组特征1向量、广义特征向量;若pn-1=0但pn-2≠0则应计算对应于(n1-2)阶的Jordan块的特征向量、广义11特征向量,依此类推.最后,使p2=0的不全为零的ki值代入p1表达式得到对应于一阶Jordan块的(一个或几个)特征向量.0004100-4([6],p.135例22)例1A=,K=2,2,1,-1.010-300142解解方程(A-2I)x=0,得TTp1=k1(-1,0,1,0)