数学分析中的若干数学思想开题报告

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1、开题报告数学分析中的若干数学思想一、选题的背景、意义（所选课题的历史背景、国内外研究现状和发展趋势）历史上，数学分析起源于17世纪，伴随着牛顿和莱布尼兹发明微积分而产生的。在17、18世纪，数学分析的主题，如变分，常微分方程和偏微分方程，傅立叶分析以及母函数基本上发展于应用工作中。微积分方法成功的运用了连续的方法近似了离散的问题。贯穿18世纪，函数概念的定义成为了数学家们争论的主题。到了19世纪，柯西首先地通过引入柯西序列的概念将微积分建立在一个稳固的逻辑基础之上。他还开始了复分析的形式理论。泊松、刘维尔、傅

2、里叶以及其他的数学家研究了偏微分方程和调和分析。在那个世纪的中叶，黎曼引入了他的积分理论。在19世纪的最后第三个年代还产生了魏尔施特拉斯对于分析的算术化，他认为几何论证从本质上是一种误导，并导入了极限的(ε,δ)定义。此时，数学家们开始担心他们在没有证明的情况下假设了实数连续统的存在。戴德金用戴德金分割构造了实数。大约在那个时候，对黎曼积分定理精炼的种种尝试也引向了实数函数的非连续集合的“大小”的研究。另外,到处不连续函数，连续但到处不可微函数，空间填充曲线也被创造出来。在这个背景下，若尔当发展了他的测度理论

3、，康托尔发展了现在的朴素集合论，以及贝尔证明了贝尔纲定理。在20世纪早期，微积分用公理化集合论被形式化。勒贝格解决了测度的问题，希尔伯特也导入了希尔伯特空间以解决积分方程。赋范向量空间的思想开始流传，到1920年代巴拿赫创立了泛函分析。数学分析在当前被分为以下几个分支领域：1.、实分析是对于实值函数的微分和积分进行形式严谨(formallyrigorous)的研究。这包括对极限，幂级数和测度的研究。2、泛函分析研究函数空间和介绍例如巴拿赫空间以及希尔伯特空间的概念。3、调和分析处理傅里叶级数以及其抽象。4、复

4、分析，是对从复平面到复平面的复数可微函数的研究。数学分析是一门变量学科，包含着丰富的数学思想。目前，数学分析中较为广泛的思想有：函数的思想、极限的思想、连续的思想、导数的思想、微分的思想、积分的思想、级数的思想等，但对于构造的思想、反例的思想、分段处理的思想、分类讨论的思想等思想相对前面的一些思想偏少。文献[1][2]介绍了数学思想的古往今来，努力说明数学的意义是什么，主要研究数学的历史以及数学科学发生发展及其规律的科学，讲述了历史上各个时期的数学的发展与重大数学创造及其数学发展中思想和方法的演变、发展过程。

5、文献[3]作者在他数十年从事数学研究和数学教育的基础上，博彩广收，集精荟萃，以数学发展的历史过程及一次极有启发性的实例为佐证，精辟而系统地论述了贯穿与整个数学之中的精神、重要的数学思想及各种主要的研究方法和证明方法，历史地辩证地勾划了近代数学发展的脉络，并对数学教育法及数学修养的重要性提出了深刻的见解。文献[6][11][12]论述了数学思想方法的涵义，着重介绍了数学分析的思想方法，运算以及应用的手段,数学分析思想方法还包括关于数学分析概念、理论、方法的产生与发展规律的认识，并介绍了数学分析中的较为广泛应用的

6、数学思想，如函数思想、极限思想、连续思想、导数思想、微分思想、积分思想、级数思想等，并举例予以说明，论述了数学分析中加强数学思想方法教育的重要意义，以及对于数学分析教学中加强数学思想的几点建议。文献[4]作为一部一直受到数学界的推崇的近代数学名著，涵盖了丰富的内容，该书论述了实数系和复数系、基础拓扑、数列与级数、连续性、微分法、Riemann-Stieltjes积分。文献[5][10]认为数学思想方法与哲学也有关系。重大的数学思想方法，都会反映某个哲学范畴或基本矛盾的数量方面。由于哲学方法有形而上学与辩证法之

7、分，因此，受其影响，数学思想方法也有形式主义与对立统一之别。文献介绍了形式主义思想方法及其历史渊源、对立统一思想方法及其历史渊源以及两种思想方法的相互关系及作用。分段法在解决极限问题，积分问题方面不可小视；分段思想也升华成一种重要的数学思想。文献[7]主要介绍了数学分析中分段处理的思想，举例演示了用分段法解决极限问题。反例的重要性正如美国数学家B.R.盖尔鲍姆所说:“数学由两大类———证明和反例组成,而数学的发展也是朝着这两个目标的———提出证明和构造反例。”文献[8]通过举例详细介绍了反例的主要应用，以及反

8、例的构造方法，如特例构造法、性质构造法、类比构造法，并论述了反例在数学分析教学中的作用。文献[9]论述了辅助函数的基本特点及构造原则，如将未知化为已知、,将复杂化为简单、利用几何特征的原则，介绍了原函数法、参数变易法、泰勒公式法、常数k值法、微分方程法这几种构造辅助函数的方法应用，并归纳总结了各种辅助函数构造的具体步骤。二、研究的基本内容与拟解决的主要问题本文主要研究以下基本内容与问题：1．为什么要