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《2020版高中数学 第四章 导数应用章末复习学案(含解析)北师大版选修1 -1》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第四章导数应用章末复习学习目标 1.掌握利用导数判断函数单调性的方法,会用导数求函数的极值和最值.2.会用导数解决一些简单的实际应用问题.1.函数的单调性、极值与导数(1)函数的单调性与导数在某个区间(a,b)内,如果f′(x)>0,那么函数y=f(x)在这个区间内是增加的;如果f′(x)<0,那么函数y=f(x)在这个区间内是减少的.(2)函数的极值与导数①极大值:在点x=a附近,满足f(a)≥f(x),当x0,当x>a时,f′(x)<0,则点a叫作函数的极大值点,f(a)叫作函数的极大值;②极小值:在点x=a附近
2、,满足f(a)≤f(x),当xa时,f′(x)>0,则点a叫作函数的极小值点,f(a)叫作函数的极小值.2.求函数y=f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤(1)求函数y=f(x)在(a,b)内的极值.(2)将函数y=f(x)的各极值与端点处函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.题型一 函数的单调性与导数例1 已知函数f(x)=(x2+ax-2a2+3a)ex(x∈R),其中a∈R.(1)当a=0时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率;(2)试求f
3、(x)的单调区间.考点 利用导数研究函数的单调性题点 求含参数函数的单调区间解 (1)当a=0时,f(x)=x2ex,f′(x)=(x2+2x)ex,故f′(1)=3e.即曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为3e,(2)f′(x)=[x2+(a+2)x-2a2+4a]ex.令f′(x)=0,解得x=-2a或x=a-2,①当-2a=a-2,即a=时,f′(x)≥0,∴f(x)在R上是增加的;②当-2a时,则当x∈(-∞,-2a)或x∈(a-2,+∞)时,f′(x)>0,故f(x)在(-∞,-2a),(a-2
4、,+∞)上为增函数,当x∈(-2a,a-2)时,f′(x)<0,故f(x)在(-2a,a-2)上为减函数;②当-2a>a-2,即a<时,则当x∈(-∞,a-2)或x∈(-2a,+∞)时,f′(x)>0,故f(x)在(-∞,a-2),(-2a,+∞)上为增函数.当x∈(a-2,-2a)时,f′(x)<0,f(x)在(a-2,-2a)上为减函数.综上所述,当a<时,f(x)的增区间为(-∞,a-2),(-2a,+∞),减区间为(a-2,-2a);当a=时,f(x)的增区间为(-∞,+∞);当a>时,f(x)的增区间为(-∞,-2a),(a-
5、2,+∞),减区间为(-2a,a-2).反思感悟 (1)关注函数的定义域,单调区间应为定义域的子区间.(2)已知函数在某个区间上的单调性时转化要等价.(3)分类讨论求函数的单调区间实质是讨论不等式的解集.(4)求参数的范围时常用到分离参数法.跟踪训练1 已知函数f(x)=x3-ax-1.(1)若f(x)在R上是增加的,求a的取值范围;(2)是否存在实数a,使f(x)在(-1,1)上是减少的,若存在,求出a的取值范围,若不存在,请说明理由.考点 利用函数单调性求变量题点 已知函数单调性求参数解 (1)求导得f′(x)=3x2-a,因为f(
6、x)在R上是增函数,所以f′(x)≥0在R上恒成立.即3x2-a≥0在R上恒成立.即a≤3x2,而3x2≥0,所以a≤0.当a=0时,f(x)=x3-1在R上是增加的,符合题意.所以a的取值范围是(-∞,0].(2)假设存在实数a,使f(x)在(-1,1)上是减少的,则f′(x)≤0在(-1,1)上恒成立.即3x2-a≤0在(-1,1)上恒成立,即a≥3x2,又因为在(-1,1)上,0≤3x2<3,所以a≥3.当a=3时,f′(x)=3x2-3,在(-1,1)上,f′(x)<0,所以f(x)在(-1,1)上是减少的,即a=3符合题意.所
7、以存在实数a,使f(x)在(-1,1)上是减少的,且a的取值范围是[3,+∞).题型二 函数的极值、最值与导数例2 已知函数f(x)=x2+alnx.(1)若a=-1,求函数f(x)的极值,并指出是极大值还是极小值;(2)若a=1,求函数f(x)在[1,e]上的最大值和最小值;(3)若a=1,求证:在区间[1,+∞)上,函数f(x)的图像在函数g(x)=x3的图像的下方.考点 导数的综合应用题点 导数的综合应用(1)解 由于函数f(x)的定义域为(0,+∞),当a=-1时,f′(x)=x-=,令f′(x)=0,得x=1或x=-1(舍去)
8、,当x∈(0,1)时,f′(x)<0,函数f(x)是减少的,当x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,函数f(x)是增加的,所以f(x)在x=1处取得极小值,且极小值为.(2)解 当a=1时,f(x)=x2+l
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