-新人教[原创]江苏江阴地区化归与转化策略在解题中的运用

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1、化归与转化策略在解题中的运用江苏省江阴长泾屮学：张义红如果把解题比做打仗，那么解题者的“兵力'就是数学基础知识，解题者的“兵器”就是数学基本方法，而对于一名屮学生来说所掌握的数学基础知识和数学基本方法基本相似，可以说他们的“兵力”和“兵器”不分伯仲，关键的差别在于他们如何调动他们的数学知识和运用数学基本方法进行解题，不妨称之为“兵法”。“兵法”妙以“少”胜“多”，“兵法”不当不“战”而“败”。“兵法”的重要性是不言而喻，木文选了众“兵法”中“化归与转化”这一有名的方法谈一谈它在解题屮的重要运用。所谓化归与转化，就是研究与解决问

2、题时，采用某种手段，将问题通过变换使之转化，进而达到解决问题的口的。一般总是将复杂问题转化为简单问题，陌生问题转化为熟悉问题，未解决问题转化为已解决问题，等等。一、首先我们结合几个例了来谈谈化归的思想方法在解题中的重要作用。例1、已知a<0,b<0,c>0且^lb2-4ac=b-2°c求戸-4ac的最小值。分析：这道题的难度较大，如果不创设一•些特定的解题背景进行化归求解则很难下手。分析已知等式中的』X-4ac,易想到化归为二次函数或一元二次方程这样的知识背景。标准答案是这样的：令y=ax2+br+c,由于a<0,b<0,.c

3、>0,则A=Z?2-4ac>0所以，二次函数的图彖是一条开口向下且与轴冇两个不同的交点A(x190),B(x2?0)的抛物线。因为C,AX】兀2=—<0,不妨设兀1<兀2，则兀

4、<0<兀2称轴X=SO,于是a2a-h+yjb2-4ac2aAac-b1""4ayb2-4ac2a•故所以b2-4acn4.当a二l,b=O,c=l吋等号成立•因此b1-4ac的最小值为4.这个解决方法首先构造一个二次函数并已知条件分析函数图象的性质，最终解决问题。但该方法对学生数形结合的能力提出了较高要求。如果该题能化归为一元二次方程，那么解题难度将

5、进一步大大的降低解法如下：已知条件可变为+〉0,(心°)这表明二次方程做2+加+c=o有实根州=_1.代冋2ac方程，得ac=b-l,乘以・4后，两边加上戸得h2-^ac=h2-4b+4=(2-h)2>4b=0,从而ac=-l时,b2-4ac取最小值4.以上例子告诉我们巧妙化归的重要性，并且选择不同的知识背景进行化归，对我们解题也有着相当大的影响，越好的知识背景对我们解题越有帮助。例2、如果实数x,y满足%2+-4x+l=0求(1)丄的最大值(2)y・x的最小值分析：该题如果用消元法求最值，则比较麻烦也比较难，这里我们运用数形

6、结合法，创造解题情境，进行化归求解。(1)由x2+/-4x+1=0得(兀-2)2+y2=3即点P(x,y)在以(2,0)为圆心，巧为半径的圆周上，令斗表示点P与O点连线的斜率，结合图形x-0-V3

7、7条南北向街道，5条东西向街道(如图)(1)图中共有多少个矩形？(2)从A点走向B点最短的走法有多少种？分析：该题也可创设排列组合这一解题情境即(1)在7条竖线中任选2条，5条横线中任选2条，这样4条线可组成一个矩形，故可组成的矩形有C；C?=210乖中(2)每条东西向的街道被分为6段，每条南北向的街道被分为4段，从A到B的最短走法一定包括10段，6段东西，4段南北，每种走法即从10段屮选出6段为走东西方向的，共有C器=«=210种这个比较的抽象、新颖的题目，我们通过化归，运用已知的排列组合知识解决的巧妙而轻松。以后解题中碰到

8、新颖或难度较大的题目，一定要巧创一定的解题情境，化归为用已知知识可以解决的问题。二、其次，我再看看转化的思想方法在解题中的运用。例4、设01分析：显然⑷〉1,但若仅假设畋〉1,则很难由递推公式匕+

9、=丄+。推出%>1,这是因为这里的色出现在分母上,为得到%>1即得到丄+。〉1,即要求务<丄将问题转化为更强的命题：即证明对于一切正整数n,有1<心<丄aa1一/证明：⑴当n=l时，由a】=1+a,知a】>1,乂d[=l+a=所以1-a.11

10、)假设1<务<丄，则-a11,v11-/1ak^=a>a=—a+a=乂色+i=a<+a=