（江苏专用）2019高考数学二轮复习 专题六 第3讲 基本不等式及其应用学案 理

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1、第3讲　基本不等式及其应用高考定位　高考对本内容的考查主要有(1)基本不等式的证明过程，A级要求；(2)利用基本不等式解决简单的最大(小)值问题，C级要求.真题感悟1.(2017·江苏卷)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________.解析　一年的总运费与总存储费用之和为y＝6×＋4x＝＋4x≥2＝240，当且仅当＝4x，即x＝30时，y有最小值240.答案　302.(2018·江苏卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC＝120°，∠A

2、BC的平分线交AC于点D，且BD＝1，则4a＋c的最小值为________.解析　因为∠ABC＝120°，∠ABC的平分线交AC于点D，所以∠ABD＝∠CBD＝60°，由三角形的面积公式可得acsin120°＝a×1×sin60°＋c×1×sin60°，化简得ac＝a＋c，又a>0，c>0，所以＋＝1，则4a＋c＝(4a＋c)·＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当c＝2a时取等号，故4a＋c的最小值为9.答案　93.(2016·江苏卷)已知函数f(x)＝2x＋，若对于任意x∈R，不等式f(2x)≥mf(x)－6恒成立，则实数m的最大值为________.解析　由条件知f(2x

3、)＝22x＋2－2x＝(2x＋2－x)2－2＝(f(x))2－2.∵f(2x)≥mf(x)－6对于x∈R恒成立，且f(x)>0，∴m≤对于x∈R恒成立.又＝f(x)＋≥2＝4，且＝4，∴m≤4，故实数m的最大值为4.答案　44.(2016·江苏卷)在锐角三角形ABC中，若sinA＝2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是________.解析　因为sinA＝2sinBsinC，所以sin(B＋C)＝2sinBsinC，所以sinBcosC＋cosBsinC＝2sinBsinC，等式两边同时除以cosBcosC，得tanB＋tanC＝2tanBtanC.又

4、因为tanA＝－tan(B＋C)＝，所以tanAtanBtanC－tanA＝2tanBtanC，即tanBtanC(tanA－2)＝tanA.因为A，B，C为锐角，所以tanA，tanB，tanC>0，且tanA>2，所以tanBtanC＝，所以原式＝.令tanA－2＝t(t>0)，则＝＝＝t＋＋4≥8，当且仅当t＝2，即tanA＝4时取等号.故tanAtanBtanC的最小值为8.答案　8考点整合1.基本不等式≤(1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0；(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号；(3)其中称为正数a，b的算术平均数，称为正数a，b的几何平均数.2

5、.几个重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号；(2)ab≤(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号；(3)≥(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号；(4)＋≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号.3.利用基本不等式求最值已知x≥0，y≥0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2(简记：积定和最小)；(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是(简记：和定积最大).热点一　配凑法求最值【例1】(1)一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，则这个矩形的长为______

6、__m，宽为________m时菜园面积最大.(2)(2018·南京、盐城一模)若实数x，y满足x＞y＞0，且log2x＋log2y＝1，则的最小值为________.解析　(1)设矩形的长为xm，宽为ym，则x＋2y＝30.所以S＝xy＝x·(2y)≤＝，当且仅当x＝2y，即x＝15，y＝时取等号.(2)因为log2x＋log2y＝log2xy＝1，所以xy＝2.因为x＞y＞0，所以x－y＞0.所以＝＝x－y＋≥2＝4，当且仅当x－y＝2时取等号.答案　(1)15　　(2)4探究提高　(1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”.所谓“一正

7、”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件.(2)在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式.【训练1】(1)(2017·宿迁期末)若函数f(x)＝x＋(x＞2)在x＝a处取最小值，则a＝________.(2)若对x≥1，不等式x＋－1≥a恒成立，则实数a的取值范围是________.解析　(1)当x＞2时，x－2＞0，f(x)＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当x－2＝(x＞2)，即x＝3时取等号，即当f(x)取得最小值时