2019-2020年高考数学大一轮复习不等式选讲课时达标检测六十六不等式的证明理

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1、2019-2020年高考数学大一轮复习不等式选讲课时达标检测六十六不等式的证明理1．已知函数f(x)＝

2、x＋3

3、＋

4、x－1

5、，其最小值为t.(1)求t的值；(2)若正实数a，b满足a＋b＝t，求证：＋≥.解：(1)因为

6、x＋3

7、＋

8、x－1

9、＝

10、x＋3

11、＋

12、1－x

13、≥

14、x＋3＋1－x

15、＝4，所以f(x)min＝4，即t＝4.(2)证明：由(1)得a＋b＝4，故＋＝1，＋＝＝＋1＋＋≥＋2＝＋1＝，当且仅当b＝2a，即a＝，b＝时取等号，故＋≥.2．设不等式－2<

16、x－1

17、－

18、x＋2

19、<0的解集为M，a，b∈M.(1)证明：<；(

20、2)比较

21、1－4ab

22、与2

23、a－b

24、的大小，并说明理由．解：(1)证明：记f(x)＝

25、x－1

26、－

27、x＋2

28、＝由－2<－2x－1<0解得－

29、a

30、＋

31、b

32、<×＋×＝.(2)由(1)得a2<，b2<.因为

33、1－4ab

34、2－4

35、a－b

36、2＝(1－8ab＋16a2b2)－4(a2－2ab＋b2)＝(4a2－1)(4b2－1)>0.所以

37、1－4ab

38、2>4

39、a－b

40、2，故

41、1－4ab

42、>2

43、a－b

44、.3．(xx·广州模拟)已知定义在R上的函数f(x)＝

45、x－m

46、＋

47、x

48、，m∈N*，存在实数x使f(x)<2成立．(1)

49、求实数m的值；(2)若α，β≥1，f(α)＋f(β)＝4，求证：＋≥3.解：(1)因为

50、x－m

51、＋

52、x

53、≥

54、(x－m)－x

55、＝

56、m

57、.要使不等式

58、x－m

59、＋

60、x

61、<2有解，则

62、m

63、<2，解得－2a2b＋ab2；(2)已知a，b，c都是正数，求证

64、：≥abc.证明：(1)(a3＋b3)－(a2b＋ab2)＝(a＋b)(a－b)2.因为a，b都是正数，所以a＋b>0.又因为a≠b，所以(a－b)2>0.于是(a＋b)(a－b)2>0，即(a3＋b3)－(a2b＋ab2)>0，所以a3＋b3>a2b＋ab2.(2)因为b2＋c2≥2bc，a2>0，所以a2(b2＋c2)≥2a2bc.①同理，b2(a2＋c2)≥2ab2c.②c2(a2＋b2)≥2abc2.③①②③相加得2(a2b2＋b2c2＋c2a2)≥2a2bc＋2ab2c＋2abc2，从而a2b2＋b2c2＋c2a2≥

65、abc(a＋b＋c)．由a，b，c都是正数，得a＋b＋c>0，因此≥abc(当且仅当a＝b＝c时取等号)．5．已知x，y∈R，且

66、x

67、<1，

68、y

69、<1.求证：＋≥.证明：∵≤＝≤＝1－

70、xy

71、，∴＋≥≥，∴原不等式成立．6．(xx·长沙模拟)设α，β，γ均为实数．(1)证明：

72、cos(α＋β)

73、≤

74、cosα

75、＋

76、sinβ

77、，

78、sin(α＋β)

79、≤

80、cosα

81、＋

82、cosβ

83、；(2)若α＋β＋γ＝0，证明：

84、cosα

85、＋

86、cosβ

87、＋

88、cosγ

89、≥1.证明：(1)

90、cos(α＋β)

91、＝

92、cosαcosβ－sinαsinβ

93、≤

94、co

95、sαcosβ

96、＋

97、sinαsinβ

98、≤

99、cosα

100、＋

101、sinβ

102、；

103、sin(α＋β)

104、＝

105、sinαcosβ＋cosαsinβ

106、≤

107、sinαcosβ

108、＋

109、cosαsinβ

110、≤

111、cosα

112、＋

113、cosβ

114、.(2)由(1)知，

115、cos[α＋(β＋γ)]

116、≤

117、cosα

118、＋

119、sin(β＋γ)

120、≤

121、cosα

122、＋

123、cosβ

124、＋

125、cosγ

126、，而α＋β＋γ＝0，故

127、cosα

128、＋

129、cosβ

130、＋

131、cosγ

132、≥cos0＝1.7．(xx·重庆模拟)设a，b，c∈R＋且a＋b＋c＝1.求证：(1)2ab＋bc＋ca＋≤；(2)＋＋≥2.证明：(1)因为1＝

133、(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca≥4ab＋2bc＋2ca＋c2，当且仅当a＝b时等号成立，所以2ab＋bc＋ca＋＝(4ab＋2bc＋2ca＋c2)≤.(2)因为≥，≥，≥，当且仅当a＝b＝c＝时等号成立．所以＋＋≥＋＋＝a＋b＋c≥2a＋2b＋2c＝2，当且仅当a＝b＝c＝时等号成立．8．(xx·贵阳模拟)已知函数f(x)＝2

134、x＋1

135、＋

136、x－2

137、.(1)求f(x)的最小值m；(2)若a，b，c均为正实数，且满足a＋b＋c＝m，求证：＋＋≥3.解：(1)当x<－1时，f(x)＝－2(x＋1)－(x－

138、2)＝－3x∈(3，＋∞)；当－1≤x<2时，f(x)＝2(x＋1)－(x－2)＝x＋4∈[3,6)；当x≥2时，f(x)＝2(x＋1)＋(x－2)＝3x∈[6，＋∞)．综上，f(x)的最小值m＝3.(2)证明：a，b，c均为正实数，且满足a＋b＋c＝3，因为＋＋＋(a＋b＋