2018-2019学年高中数学 第三讲 柯西不等式与排序不等式 本讲知识归纳与达标验收讲义（含解析）新人教A版选修4-5

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1、第三讲柯西不等式与排序不等式考情分析从近两年高考来看，对本部分内容还未单独考查，但也不能忽视，利用柯西不等式构造“平方和的积”与“积的和的平方”，利用排序不等式证明成“对称”形式，或两端是“齐次式”形式的不等式问题．真题体验1．(2017·江苏高考)已知a，b，c，d为实数，且a2＋b2＝4，c2＋d2＝16，证明：ac＋bd≤8.证明：由柯西不等式可得：(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2)．因为a2＋b2＝4，c2＋d2＝16，所以(ac＋bd)2≤64，因此ac＋bd≤8.2．(2015·陕西高考)已知

2、关于x的不等式

3、x＋a

4、＜b的解集为{x

5、2＜x＜4}．(1)求实数a，b的值；(2)求＋的最大值．解：(1)由

6、x＋a

7、＜b，得－b－a＜x＜b－a，则解得(2)＋＝·＋≤＝2＝4，当且仅当＝，即t＝1时等号成立，故(＋)max＝4.利用柯西不等式证明有关不等式问题柯西不等式的一般形式为(a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2(ai，bi∈R，i＝1，2，…，n)，形式简洁、美观、对称性强，灵活地运用柯西不等式，可以使一些较为困难的不等式证明问题迎刃而解．[例1]　已知a，b为正实数

8、，a＋b＝1，x1，x2为正实数．(1)求＋＋的最小值；(2)求证：(ax1＋bx2)(ax2＋bx1)≥x1x2.[解]　(1)∵a，b为正实数，a＋b＝1，x1，x2为正实数，∴＋＋≥3＝3≥3＝6，当且仅当＝＝，a＝b，即a＝b＝，且x1＝x2＝1时，＋＋有最小值6.(2)证明：∵a，b∈R＋，a＋b＝1，x1，x2为正实数，∴(ax1＋bx2)(ax2＋bx1)＝[()2＋()2][()2＋()2]≥(＋)2＝x1x2(a＋b)2＝x1x2，当且仅当x1＝x2时取等号.利用排序不等式证明有关的不等式问题排序不等式

9、具有自己独特的体现：多个变量的排列与其大小顺序有关，特别是与多变量间的大小顺序有关的不等式问题，利用排序不等式解决往往很简捷．[例2]　在△ABC中，试证：≤＜.[证明]　不妨设a≤b≤c，于是A≤B≤C.由排序不等式，得aA＋bB＋cC＝aA＋bB＋cC，aA＋bB＋cC≥bA＋cB＋aC，aA＋bB＋cC≥cA＋aB＋bC.以上三式相加，得3(aA＋bB＋cC)≥(a＋b＋c)(A＋B＋C)＝π(a＋b＋c)．得≥，①又由0＜b＋c－a,0＜a＋b－c,0＜a＋c－b，有0＜A(b＋c－a)＋C(a＋b－c)＋B(a

10、＋c－b)＝a(B＋C－A)＋b(A＋C－B)＋c(A＋B－C)＝a(π－2A)＋b(π－2B)＋c(π－2C)＝(a＋b＋c)π－2(aA＋bB＋cC)．得＜.②由①②得原不等式成立.利用柯西不等式或排序不等式求最值问题有关不等式问题往往要涉及到对式子或量的范围的限定．其中含有多变量限制条件的最值问题往往难以处理．在这类题目中，利用柯西不等式或排序不等式处理往往比较容易．[例3]　已知5a2＋3b2＝，求a2＋2ab＋b2的最大值．[解]　∵[(a)2＋(b)2]≥2＝(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，当且仅当5a＝3

11、b即a＝，b＝时取等号．∴a2＋2ab＋b2≤×(5a2＋3b2)＝×＝1.∴a2＋2ab＋b2的最大值为1.[例4]　已知a＋b＋c＝1.(1)求S＝2a2＋3b2＋c2的最小值及取得最小值时a，b，c的值；(2)若2a2＋3b2＋c2＝1，求c的取值范围．[解]　(1)根据柯西不等式，得1＝a＋b＋c＝·a＋·b＋1·c≤(2a2＋3b2＋c2)＝·，即·≥1，∴S≥，当且仅当a＝，b＝，c＝时等号成立，∴当a＝，b＝，c＝时，Smin＝.(2)由条件可得根据柯西不等式，得(a＋b)2≤[(a)2＋(b)2]＝×(2

12、a2＋3b2)，∴(1－c)2≤·(1－c2)，解得≤c≤1.∴c的取值范围为.(时间：90分钟，总分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设a，b∈R＋且a＋b＝16，则＋的最小值是(　　)A.　　　　　　　　　　　B.C.D.解析：选A　(a＋b)≥2＝4，∴＋≥.当且仅当·＝×，即a＝b＝8时取等号．2．已知x＋3y＋5z＝6，则x2＋y2＋z2的最小值为(　　)A.B.C.D．6解析：选C　由柯西不等式，得x2＋y2＋z2＝(12＋

13、32＋52)(x2＋y2＋z2)×≥(x＋3y＋5z)2×＝62×＝，当且仅当x＝＝时等号成立．3．已知a，b，c为正数且a＋b＋c＝3，则＋＋的最小值为(　　)A．4B．4C．6D．6解析：选C　∵a，b，c为正数．∴＝≥a＋b.同理≥b＋c，≥c＋a，相加得(＋＋)≥2(b＋c＋a)＝6，即＋＋≥6，当且仅当a＝