2018-2019学年高中数学 第1部分 第2章 圆锥曲线与方程 2.5 圆锥曲线的统一定义讲义（含解析）苏教版选修2-1

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1、2.5圆锥曲线的统一定义圆锥曲线的统一定义抛物线可以看成平面内的到定点(焦点)F的距离与到定直线(准线)l的距离的比值等于1(离心率)的动点的轨迹．在坐标平面内有一定点F(c,0)，定直线x＝(a>0，c>0)．动点P(x，y)到定点F(c,0)的距离与到定直线x＝的距离的比为.问题1：求动点P(x，y)的轨迹方程．提示：由＝，化简得：(a2－c2)x2＋a2y2＝a2(a2－c2)．问题2：当a>c，即0<<1时，轨迹是什么？提示：椭圆．问题3：当a1时，轨迹是什么？提示：双曲线．圆锥曲线可以统一定义为：平面内到一个

2、定点F和到一条定直线l(F不在l上)的距离的比等于常数e的点的轨迹．当0＜e＜1时，它表示椭圆，当e＞1时，它表示双曲线，当e＝1时，它表示抛物线．其中e是离心率，定点F是圆锥曲线的焦点，定直线l是圆锥曲线的准线.圆锥曲线的准线从抛物线的定义知，抛物线只有一个焦点和一条准线，那么椭圆、双曲线有几个焦点，几条准线？提示：椭圆、双曲线分别有两个焦点，两条准线．椭圆、双曲线和抛物线的准线方程曲线方程准线方程曲线方程准线方程＋＝1(a＞b＞0)x＝±＋＝1(a＞b＞0)y＝±－＝1(a＞0，b＞0)x＝±－＝1(a＞0，b＞0)y＝±y

3、2＝2px(p＞0)x＝－x2＝2py(p＞0)y＝－y2＝－2px(p＞0)x＝x2＝－2py(p＞0)y＝圆锥曲线的第一定义与第二定义的区别椭圆、双曲线的第一定义突出了动点与两定点的距离关系，第二定义主要表现了动点与一定点和一条定直线的距离之比的关系，所以在选用两种定义时可根据题目条件的不同适当选择．利用第一定义可以把到一个定点的距离转化为到另一点的距离，利用第二定义可以把到定点与到定直线的距离互相转化，对于抛物线，第一定义与第二定义是一致的．利用统一定义确定曲线形状[例1]　过圆锥曲线C的一个焦点F的直线l交曲线C于A，B

4、两点，且以AB为直径的圆与F相应的准线相交，则曲线C为________．[思路点拨]　利用圆锥曲线第二定义进行转化，由圆心到直线的距离和半径的大小关系，建立不等式求e的范围即可判断．[精解详析]　设圆锥曲线的离心率为e，M为AB的中点，A，B和M到准线的距离分别为d1，d2和d，圆的半径为R，d＝，R＝＝＝.由题意知R＞d，则e＞1，圆锥曲线为双曲线．[答案]　双曲线[一点通]　解答这种类型的问题时，巧妙应用圆锥曲线的统一定义进行转化，即e＝＝.有时会应用到数形结合的思想方法，这种类型多为客观题，以考查统一定义的应用为主．1．方

5、程＝

6、x＋y－1

7、对应点P(x，y)的轨迹为________．解析：由＝

8、x＋y－1

9、得＝.可看作动点P(x，y)到定点(－1,0)的距离与到定直线x＋y－1＝0的距离比为>1的轨迹方程，由圆锥曲线统一定义可知，轨迹为双曲线．答案：双曲线2．若将例1中“相交”二字改为“相离”，判断曲线的形状；把“相交”二字改为“相切”，再判断曲线的形状．解：设圆锥曲线的离心率为e，M是AB中点，A，B和M到准线的距离分别为d1，d2和d，圆的半径为R，则d＝，R＝＝＝.当圆与准线相离时，R＜d，即＜，∴0＜e＜1，圆锥曲线为椭圆．当圆与准线相切

10、时，R＝d，∴e＝1，圆锥曲线为抛物线.用圆锥曲线的统一定义求轨迹[例2]　已知动点P(x，y)到点A(0,3)与到定直线y＝9的距离之比为，求动点P的轨迹．[思路点拨]　此题解法有两种一是定义法，二是直译法．[精解详析]　法一：由圆锥曲线的统一定义知：P点的轨迹是一椭圆，c＝3，＝9，则a2＝27，a＝3，∴e＝＝，与已知条件相符．∴椭圆中心在原点，焦点为(0，±3)，准线y＝±9.b2＝18，其方程为＋＝1.法二：由题意得＝.整理得＋＝1.P点的轨迹是以(0，±3)为焦点，以y＝±9为准线的椭圆．[一点通]　解决此类题目有两

11、种方法：①是直接列方程，代入后化简整理即得方程．②是根据定义判断轨迹是什么曲线，然后确定其几何性质，从而得出方程．3．平面内的动点P(x，y)(y>0)到点F(0,2)的距离与到x轴的距离之差为2，求动点P的轨迹．解：如图：作PM⊥x轴于M，延长PM交直线y＝－2于点N.∵PF－PM＝2，∴PF＝PM＋2.又∵PN＝PM＋2，∴PF＝PN.∴P到定点F与到定直线y＝－2的距离相等．由抛物线的定义知，P的轨迹是以F为焦点，以y＝－2为准线的抛物线，顶点在原点，p＝4.∴抛物线方程为x2＝8y(y>0)．∴动点P的轨迹是抛物线．4．

12、在平面直角坐标系xOy中，已知F1(－4,0)，直线l：x＝－2，动点M到F1的距离是它到定直线l距离d的倍．设动点M的轨迹曲线为E.(1)求曲线E的轨迹方程；(2)设点F2(4,0)，若直线m为曲线E的任意一条切线，且点F1，F2到m的距离分别为d1，d2，试