二维定常不可压缩N-S方程无量纲分析

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1、二维定常不可压缩N-S方程无量纲分析一、引言计算流体力学的控制方程通常认为是N-S(Navier-Strokes)方程组，包含了能量方程、动量方程、连续性方程等方程组的总称。当考虑流体的黏性时，作用在流体质点上的力除了质量力、法向应力（垂直于作用面的压力）外，还有与作用面相切的切向力，N-S方程建立了流体微团的动量变化率与作用在微团上的惯性力，压力以及粘性剪切力之间的关系，反映了黏性流体运动的基本规律，对计算流体力学有着十分重要的意义。本文旨在对二维定常不可压缩N-S方程进行无量纲化，方便简化计算和分析相似实验。量纲分析就是对有量纲的物理方程进行参数的组合，实现参数和方程的无

2、量纲化，将方程无量纲化有以下几点好处：（1）方程形式可以得到简化并且可能减少方程个数，进而提高实际计算速度；（2）通过无量纲化尽可能的减少方程中的常数运算，将这些常数转化为某个特征参数，这样可以降低计算难度；（3）防止方程中的物理参数在数量级上造成差异，从而降低精度损失；（4）将方程中的物理量无量纲化后容易实现计算中的相似模拟。流体力学中的相似通常可以分为几何相似、运动相似和动力相似。流动相似的概念来源于几何相似的概念，两个流动如果相似，例如模型流动与实际流动相似，则其流场中相应点上各同类物理量将具有各自固定的比例关系，也即可将模型实验的成果应用于实际流动中。相似原理指出，两

3、个流动若相似必满足一定条件，即满足几何相似、运动相似、动力相似，这些条件还应包括边界条件和初始条件相似。根据相似原理，两个流动现象只要同时满足上面的相似条件，它们之间就存在相似关系，其对应物理量都成一定的比例关系。在应用中，首先需要分析所要研究的流体，找出影响流动问题的作用力，我们只需要满足一个主要作用力相似，而不必计较其它作用力是否达到相似。例如对于一些流动现象，只要流动的雷诺数不是很大，一般其相似条件都依赖于雷诺数。雷诺数是用来判断流体流动特性的无量5纲量，对于封闭环境内的流动，当雷诺数小于2300时的流动为层流，能用N-S方程表示；当雷诺数大于4000时的流动为湍流，不

4、能用N-S方程表示。二、二维定常不可压缩流体的N-S方程参照《工程流体力学基础》[1]，在流场中任取一个平面六面体微团，作用在六面体上的力有质量力，作用在表面上的力除了法向力外，还有切向力，用p表示切向力，用τ表示切向力。对于这个六面体，每个面上都有三个应力分量，共有18个应力分量。根据牛顿第二定律，可写出沿x轴的运动微分方程：dudt=X+∂pxxρ∂x+1ρ(∂τyx∂y+∂τzx∂z)(2.1)y、z轴的方程类似可得。方程组中仍有多个未知量，不足以进行求解，还必须对应力进行分析，寻找应力之间的关系式。根据达朗伯原理和广义牛顿内摩擦定律，则有：τxy=τyxτyz=τzx

5、τzx=τxz(2.2)pxx=pyy=pzz=-p(2.3)最后导出沿x轴的N-S方程：dudt=X-1ρ∂p∂x+υ∂2u∂x2+∂2u∂y2+∂2u∂z2(2.4)本文研究的是二维定常不可压缩流体，不考虑z轴方向，以式2.4为参考，得出二维不可压缩定常流动的N-S方程：dudt=X-1ρ∂p∂x+υ∂2u∂x2+∂2u∂y2(2.5)dvdt=Y-1ρ∂p∂x+υ∂2v∂x2+∂2v∂y2(2.6)式中，u、v分别是x，y方向的速度，ρ是流体密度，p是压力，υ是运动粘度，X，Y是质量力在x，y方向上的两个分量。三、N-S方程无量纲化量纲分析的基本原理是量纲的和谐性。两个

6、量能进行比较的前提是它们的量纲相同，这就是量纲的和谐性原理，当然，两个量纲为1的量是可以无条件相互比较的。根据量纲的和谐性原则，提出了量纲分析方法：π定理法：若物理方程fx1,x2,⋯=0，共含有n个物理量，其中有k5个是基本量，在保持量纲和谐性的前提下，这个物理方程可以简化为各个物理量所构成的量纲为1的组合。二维定常不可压缩流体流动的N-S方程：dudt=X-1ρ∂p∂x+υ∂2u∂x2+∂2u∂y2dvdt=Y-1ρ∂p∂x+υ∂2v∂x2+∂2v∂y2选取特征量为：特征长度L，特征速度U。本文限于讨论不可压缩流动，流体密度和黏度在全流场保持常数，用基本变量除其他变量，得

7、到其他变量的无量纲数：u*=uU(3.1)v*=vU(3.2)x*=xL(3.3)y*=yL(3.4)p*=pρU2(3.5)t*=tL∕U(3.6)X*=XU2∕L(3.7)Y*=YU2∕L(3.8)举3.1和3.2说明无量纲化过程，dudt=d(u**U)d(t**L∕U)=U*du*L∕U*dt*=UL∕Udu*dt*(3.9)∂2u∂x2=∂∂x(∂u∂x)=∂∂(x**L)∂(u**U)∂(x**L)=UL2∂2u*∂x*2(3.10)按照上式一样将各个无量纲数代入到N-S方程中，便得到了二维