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1、2010年春《数学建模I》期末考试答卷作者一:作者二第一题:一、不允许缺货的存贮模型货物木身的价格不考虑时模型假设1.产品每天的需求量为常数r；2.每次生产准备费为cl,每天每件产品贮存费为c2；3.T天生产一次(周期)，每次生产Q件，当贮存量为零时，Q件产品立即到来(生产时间不计)；4.为方便起见，时间和产量都作为连续量处理。模型建立贮存量表示为时间的函数q(t)t二0生产Q件，q(0)=Q,q(t)以需求速率r递减，q(T)=0・推出q=rT一周期贮存费为c2£q⑴山=c2A一周期总费用C=c^c2^T=c^c2^22每天总
2、费用平均值(目标函数)c(话讣葺模型求解求T使C(T)歩+字TMin*0推出"橙Qe2c/前面说过，货物木身的价格可不考虑，这时因为若记每吨货物的价格为K,这一周期的总费用C⑴讣弩中应添加kQ,由于gT,所以®岭哈晋中增加常数项kr,对"JIQ=rT=^无影响。即在不允许缺货模型中结果与原来的结果一样二、允许缺货的存贮模型货物本身的价格不考虑时当贮存量降到零时仍有需求r,出现缺货，造成损失原模型假设：贮存量降到零时Q件立即生产出来(或立即到货)现假设：允许缺货，每天每件缺货损失费c3,缺货需补足周期T,t二T1贮存量降到零一周期
3、贮存费c2£q(t)dt=c2A一周期缺货费c^q(t^(lt=c3B一周期总费用+5竽+5每天总费用平求T,Q使C(T,0^Min軒。，歎。为与不允许缺货的存贮模型相比，T记作T，,Q记作Q'当计算货物自身费用时，记单位货物价格为C4,则冷+勞咛+岁求T,Q使C(7Q)TMin牛。券。可得TQ比较可知，此时的TQ均减小即在允许缺货模型中的最优订货周期和批量都比原来的结果减小。综上所述，在不允许缺货模型中结果与原来的结果一样，而在允许缺货模型中的最优订货周期和批量都比原来的结杲减小。第二题：假设无捕捞时鱼的自然增长服从Log
4、istic规律x(t)=/(x)=rx(l-AN固有增长率，"最大鱼量单位时间捕捞量与渔场鱼量成正比h(x)=Exf£~捕捞强度建模记F(兀)=f(x)-A(x)捕捞情况下渔场鱼量满足灼)=F(x)=rx(l-^-)-Ex(1)NKx)=0的根弘~微分方程的平衡点工仁=0=>兀三勺设*广)是方程的解，若从Ao某邻域的任一初值出发，都有limx(f)=x0,称x0是方程⑴的稳定平衡点/->00(1)的近似线性方程x=F(x0)(x-x0)(2)F(x0)<0=>%稳定(对(2),(1))F(x0)>0n观不稳定(对⑵，⑴)产量模型
5、x(t)=F(x)=rx()一ExNE由F(x)=0得兀o=N(l一一),西=0r稳定性判断F(x0)=E-r,Fx^=r-EE0n勺稳定K不稳定E>mF(x())>0,F'U)v0=>不稳定曲稳定其中E〜捕捞强度r〜固有增长率X。稳定，可得到稳定产量X1稳定，渔场干枯产量模型在捕捞量稳定的条件下，控制捕捞强度使产量最大YF(x)=/(x)-/i(x)/(x)=rr(l-—)/?(x)=ExNF(x)=0=>/与h交点PEm勺稳定产量最大Pxl=N/Zhm=rN/4)E：=hm/^=r/2控制
6、渔场鱼量为最大鱼量的一半效益模型在捕捞量稳定的条件下，控制捕捞强度使效益最大假设鱼销售价格P单位捕捞强度费用C收入T=ph(x)=pEx支出S=cE单位吋间利润R=T-S=pEx-cE稳定平衡点x0=N(i-E/r)FR(E)=T(E)-S(E)=pNEQ一一)一cEr求F使R®最大Er弓(1-讦)v砂专渔场鱼量心=N(1-如)=¥+子hR=¥(1_£)r22p4p_N「捕捞过度封闭式捕捞追求利润斤(方)最大开放式捕捞只求利润R(E)>0令/?(£)=T(E)-S(E)=pNE(l-—)-cE=0得Es=r(l一-—)rpNR(
7、E)=O时的捕捞强度(临界强度)Es=2Er临界强度下的渔场鱼量Fc兀=N(1-一)=-得耳彳,无,1rP第二题：建立数量指标讨论A、B两方平均分配席位的情况，设两方人数分别为pl、p2占有席位分别为nl、n2当pl/nl=p2/n2时，分配公平若pl/nl>p2/n2,对A不公平记pl/nl-p2/n2为对A的绝对不公平度pl=150,nl=10,pl/nl=15p2=100,n2二10,p2/n2=10pl/nl—p2/n2=5pl=1050,nl=10,pl/nl二105p2=1000,n2=10,p2/n2=100pl/
8、nl-p2/n2二5虽二者的绝对不公平度相同，但后者对A的不公平程度已大大降低!若pl/nl>p2/n2,定义吋叫Ax，1-A的相对不公平度类似地定义rB(nl,n2)使rA,rB尽量小将一次性的席位分配转化为动态的席位分配，即设A,B已分别有nl,n2席，若增
