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《专题1第1讲函数与方程思想》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、一、函数与方程思想（1）函数的思想函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，是对函数概念的本质认识，建立函数关系或构造函数,运用函数的图像和性质去分析问題、转化问題，从而使问逸获得解决.经常利用的性质是单调性、奇偶性.周期性、最大值和最小值.图像变换等.（2）方程的思想方程询彘rht盘并陽数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程纽，或者构遥方程，通过血茨■益爲洛如Mk者运用方程的性质去分析.转化问题，使问题得以解决.方程的教学是对方程槪念的本质认识，用于指导解题就是蕃于利用方程或方程组的观点观察处理问聲方程思想是动中求%,譬铲
2、#堀年莹关系.2.函数思想与方程思想的联系切1兀"鬥函数思想与方程思想是密切相关的，如函数问題可以转化为方程问題来解决，方程问題也可以转化为函数问題加以解决，如解方程f（*）=o,就是求函数y=f（x）的零点，解不等式f（x）＞0（或f（x）＜0）,就是求函数y=f{x）的正（或负）区间，再如方程f（x）=g3的解的问題可以转化为函数y=f（x）与y=g（x）的交点问題，也可以转化为函数y=f（x）—g（x）与“轴的交点问题，方程fg=a有解,当乩仅当日扁于函數f（”）的值域，函数与方程的这种相互转化关系十分重要.［例1］长度都为2的向量OA,OB
3、的夹角为60。，点C在以O为圆心的圆弧AB（为弧）匕OC=mOA+nOB.则m+n的最大值是［思维流程］四类参数范围（或最值）的求解方法（1）求字母（式子）的值的问題往往要根据题设条件构建以待求字母（式子）为元的方程（组），然后由方程（纽）求得.（2）求参数的取值范闻是函数、方程.不等式、数列、解析几何等问题中的重要问題，解决这类问题一般有两种途径：其一，充分挖掘趣设条件中的不等关系，构建以待求字母为元的不等式（组）求解；其二，充分应用题设中的等量关系，将待求参数表示成其他变量的函数，然后.应用函数知识求值域.（3）当问题中出规两数积与这两数和时，
4、是构建一元二次方程的明显信息，构造方程后再利用方程知识可使问題巧妙解决.（4）当问題中出现多个变量时，往往要利用等量关系去减少变量的个数，如最后能把其中一个变量表示成关于另一个变量的表达式，那么就可用研究函数的方法将问題解决.1.（1）若a,b是正数，且满足ab=a+b+3,则db的取值范围为.（2）如果方程cos2x-sinx+t7=0在（0,号上有解，则a的取值范围为［例2］设函数/U）=g，g（兀）=一/+加，若y=fix）的图像与y=g（兀）的图像有且仅有两个不同的公共点4（兀1，yi）,B（x2＞力），则下列判断止确的是（）A.xi+x2
5、>0tyi+y2〉°B•x+^2>0，y+旳<0C.兀1+兀2＜0,刃+）匕＞0D.X1+X2,Cxv,yj>足vfy敬一匕<*>・OYj1
6、仪“iUjIril丄的咲根xi・夕A勒亍并M禺枯点.r与yi尼1刖—坯尼I力aK#6^*1-0/j—个J股根和——个-IWz的彳彳七m根解决图像交点及方程根等问题的方法函数图像的交点问遜转化为方程根的问題是重要的方程思想，同时方程根的判斷问題常转化为函数的家点问題父是重要的函数思想，在解决此类问題时要注意灵活应用.1.已知方程9'一2・3'+（3£—1）=0
7、有两个实根，则实数£的取值范围为.［确/3伯抽阑飆夬兀）=lnx—1,g（x）=—,+2加一4,若对任意尤阳币,2》,：姓斟1,2］,不等±±曲成立'求实数剩翳［心维〃I併王］I任念GWCO,2儿口W匸1.2：L/（g）Mg（s）恒成立不等式恒成立问题的处理方法在解决不等式恒成立问題时，一种黃更要的思想方法就是构造适当的函数，利用函數的图像和性质解决问題.同时要注意在一个含多个变量的數学问題中，需要确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题史明朗化.一般地，已知存在范国的量为变量，而待求范国的量为参数.32.设/U）=ln兀+&—1,证明：⑴当
8、兀＞1时，Xx）＜2（^—1）；⑵当］"＜3时，何丿汇）刃WN、£L该数列屮最大的项为anP则m=［思维流程］数列问题函数（方程）化法数列问題鬲数（方程）化法与形式结构甬数（方程）化法类似，但要注意数列问題中〃的取值范国为正整数，涉及的函数具有离散性特点，其一般解逐步探是：第一步：分析数列式子的结构特征.第二步：根据结构特征构造“特征”函数（方程）,转化问题形式.第三步：研究函数性质.结合解决问题的需要研究函数（方程）的相关性质，主要涉及函数单调性与最值、值域问題的研究.第四步：回归问題.纟吉合对函数（方程）相关性质的研究，回归问題.3.等差数列｛
9、给｝的前〃项和为S”,已知S3=&且$,S2,S4成等比数列，求｛给｝的通项公式.［例5］椭圆C的中点为坐标原点0,焦点在
