专题：抽象函数地单调性与奇偶性地证明学生版

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1、抽象函数单调性与奇偶性特殊模型抽象函数正比例函数f(x)=kx(k≠0)f(x+y)=f(x)+f(y)幂函数f(x)=xnf(xy)=f(x)f(y)[或]指数函数f(x)=ax(a>0且a≠1)f(x+y)=f(x)f(y)[对数函数f(x)=logax(a>0且a≠1)f(xy)=f(x)+f(y)[1.已知,对一切实数、都成立，且,求证为偶函数。2.奇函数在定义域（-1，1）内递减，求满足的实数的取值范围。3.如果=(a>0)对任意的有,比较的大小4.已知函数f（x）对任意实数x，y，均有f（x＋y）＝f（x）＋

2、f（y），且当x＞0时，f（x）＞0，f（－1）＝－2，求f（x）在区间[－2，1]上的值域。5.已知函数f（x）对任意，满足条件f（x）＋f（y）＝2+f（x＋y），且当x＞0时，f（x）＞2，f（3）＝5，求不等式的解。6.设函数f（x）的定义域是（－∞，＋∞），满足条件：存在，使得，对任何x和y，成立。求：（1）f（0）；（2）对任意值x，判断f（x）值的正负。7.是否存在函数f（x），使下列三个条件：①f（x）＞0，x∈N；②；③f（2）＝4。同时成立？若存在，求出f（x）的解析式，如不存在，说明理由。8.设f（

3、x）是定义在（0，＋∞）上的单调增函数，满足，求：（1）f（1）；（2）若f（x）＋f（x－8）≤2，求x的取值范围。9.设函数y＝f（x）的反函数是y＝g（x）。如果f（ab）＝f（a）＋f（b），那么g（a＋b）＝g（a）·g（b）是否正确，试说明理由。10.己知函数f（x）的定义域关于原点对称，且满足以下三条件：①当是定义域中的数时，有；②f（a）＝－1（a＞0，a是定义域中的一个数）；③当0＜x＜2a时，f（x）＜0。试问：（1）f（x）的奇偶性如何？说明理由。（2）在（0，4a）上,f（x）的单调性如何？说明理

4、由。11.已知函数f（x）对任意实数x、y都有f（xy）＝f（x）·f（y），且f（－1）＝1，f（27）＝9，当时，。（1）判断f（x）的奇偶性；（2）判断f（x）在［0，＋∞）上的单调性，并给出证明；（3）若，求a的取值范围。12.设f(x)定义于实数集上，当时，，且对于任意实数x、y，有，求证：在R上为增函数。13.已知函数对任意不等于零的实数都有，试判断函数f(x)的奇偶性。14.定义在R上的函数f(x)满足：对任意实数m，n，总有，且当x>0时，0

5、实数x,y，都有f(x+y)=f(x)+f(y),若x>0时f(x)<0,且f(1)=-2,求f(x)在[-3，3]上的最大值和最小值.16.设f(x)定义于实数集上，当x>0时，f(x)>1,且对于任意实数x、y，有f(x+y)=f(x)f(y)，求证：f(x)在R上为增函数。17.已知偶函数f(x)的定义域是x≠0的一切实数，对定义域内的任意x1,x2都有，且当时，（1）f(x)在(0,+∞)上是增函数；（2）解不等式18.已知函数f(x)的定义域为R，且对m、n∈R,恒有f(m+n)=f(m)+f(n)－1,且f(

6、－)=0,当x>－时，f(x)>0.求证：f(x)是单调递增函数；19.定义在R+上的函数f(x)满足:①对任意实数m,f(xm)=mf(x);②f(2)=1.(1)求证:f(xy)=f(x)+f(y)对任意正数x,y都成立;(2)证明f(x)是R+上的单调增函数;(3)若f(x)+f(x-3)≤2,求x的取值范围.20.已知函数对任意不等于零的实数都有，试判断函数f（x）的奇偶性。21.已知函数f(x)的定义域关于原点对称且满足，（2）存在正常数a，使f(a)=1.求证：f(x)是奇函数。22.定义在R上的单调函数f(

7、x)满足f(3)=log3且对任意x，y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y)．(1)求证f(x)为奇函数；(2)若f(k·3)+f(3-9-2)＜0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．23.已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的函数a,b都满足f(ab)=af(b)+bf(a).(1)求f(0)，f(1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性,并证明你的结论;24.定义域为R的函数f(x)满足：对于任意的实数x，y都有f(x+y)=f(x)+f(y)成立，且当x＞0时f(x)＜0恒成立.(1)判断函数f

8、(x)的奇偶性，并证明你的结论；(2)证明f(x)为减函数；25.已知f(x)是定义在［－1，1］上的奇函数，且f(1)=1,若a,b∈［－1,1］,a+b≠0时，有＞0.(1)判断函数f(x)在［－1，1］上是增函数，还是减函数，并证明你的结论；（2）解不等式：f(x+)＜f();