2019-2020学年高中数学 第二章 解三角形 1.3 正弦定理和余弦定理习题课巩固提升训练（含解析）北师大版必修5

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1、1.3正弦定理和余弦定理习题课　　　[A　基础达标]1．在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cosB等于(　　)A.　　　　　　　　B．C．－D．－解析：选A.因为a＝15，b＝10，A＝60°，所以在△ABC中，由正弦定理可得sinB＝＝＝，又由a>b可得A>B，即得B为锐角，则cosB＝＝.2．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且cos2＝，则△ABC是(　　)A．直角三角形B．等腰三角形或直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形解析：选A.因为cos2＝及2cos

2、2－1＝cosA，所以cosA＝，即＝，所以a2＋b2＝c2，则△ABC是直角三角形．故选A.3．在△ABC中，已知

3、

4、＝4，

5、

6、＝1，△ABC的面积为，则·＝(　　)A．±2B．±4C．2D．4解析：选A.因为

7、

8、＝4，

9、

10、＝1，△ABC的面积为，所以S△ABC＝·

11、

12、·

13、

14、·sinA＝×4×1×sinA＝.所以sinA＝，所以cosA＝±＝±.所以·＝

15、

16、·

17、

18、·cosA＝4×1×＝±2，故选A.4．在△ABC中，A＝，且最大边长和最小边长是方程x2－7x＋11＝0的两个根，则第三边的长为(　　

19、)6A．2B．3C．4D．5解析：选C.已知A＝，且最大边长和最小边长是方程x2－7x＋11＝0的两个根，则第三边为a，b＋c＝7，bc＝11，所以a＝＝＝＝＝4.5．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知sinB＋sinA(sinC－cosC)＝0，a＝2，c＝，则C＝(　　)A.B．C.D．解析：选B.因为sinB＋sinA(sinC－cosC)＝0，所以sin(A＋C)＋sinA·sinC－sinA·cosC＝0，所以sinAcosC＋cosAsinC＋sinAsinC－sinA

20、cosC＝0，整理得sinC(sinA＋cosA)＝0，因为sinC≠0，所以sinA＋cosA＝0，所以tanA＝－1，因为A∈(0，π)，所以A＝，由正弦定理得sinC＝＝＝，又0

21、2－2bccosA，即2b2＝b2＋c2－2bccosA，又c2＝b2＋bc，所以cosA＝，得A＝45°，sinB＝，6B＝30°，所以C＝105°.答案：45°，30°，105°8．在△ABC中，B＝60°，AC＝，则AB＋2BC的最大值为__________．解析：由正弦定理知＝＝，所以AB＝2sinC，BC＝2sinA．又A＋C＝120°，所以AB＋2BC＝2sinC＋4sin(120°－C)＝2(sinC＋2sin120°cosC－2cos120°sinC)＝2(sinC＋cosC＋sin

22、C)＝2(2sinC＋cosC)＝2sin(C＋α)，其中tanα＝，α是第一象限角．由于0°

23、为sin(B＋C)＝sinA≠0，所以2cosB＝1，即cosB＝，所以B＝60°.(2)由题设及余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB得，ac＝a2＋c2－2accos60°，即a2＋c2－2ac＝0.所以(a－c)2＝0.从而a＝c.由第一问知B＝60°，所以A＝B＝C＝60°.所以△ABC为正三角形．10．在△ABC中，a2＋c2＝b2＋ac.(1)求B的大小；(2)求cosA＋cosC的最大值．解：(1)由余弦定理及题设得6cosB＝＝＝.又因为0<∠B<π，所以∠B＝.(2)由(1)知∠

24、A＋∠C＝，则cosA＋cosC＝cosA＋cos＝cosA－cosA＋sinA＝cosA＋sinA＝cos.因为0<∠A<，所以当∠A＝时，cosA＋cosC取得最大值1.[B　能力提升]11．在△ABC中，sin2A－sin2C＝(sinA－sinB)sinB，则C等于(　　)A.　　　B．　　　　C.　　　D．解析：选B.由sin2A－sin2C＝(sinA－sinB)·sinB，结合正弦定理可得a2－c2＝(a－b)b＝ab－b2，即a2＋b2－c2＝ab，由