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《数学竞赛求极限方法小结》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、求极限方法小结求极限方法大概归结为：一定义法(-)定义1(1)妁对W〉0,存在自然数N,当n>N,时有
2、兀厂対<“(2)limx/?=00(+00,-00)o对VM>0,存在自然数/V,当n>N、吋有兀」>M(兀”>M,-xn>M)；2(1)lim/(x)=Ao对V£>0,存在实数J>0,当xfb(易心)0<
3、x-x0<^>(0<%-^,O)时有
4、/(^)-a
5、<£(2)lim/(x)=Ao对Ve>0,存在实数X>0,当.r-xo(+,-oo)'7
6、M>X(x>X,xv-X)吋有
7、/(x)-a
8、<^(3)lim/(x)=00(+00,-00)o
9、对VM>0,存在实数力〉0,当XT勺(斗，拓)0,0<-x)时有
10、/(x)
11、>M(/(x)>A/,-/(x)>A/)lim/(x)=00(4-00,-00)u>对Vg>0,存在实数X>0,当XT8(+O0,YO)丿7凶>X(x>X,xv—X)时有
12、/(x)
13、>M(/(x)>M,-/(x)>M)(二)例例1证明(柯西命题)若lima”二a(+oo,yo),则Hm均+$++陽’（+00,_00）证明（l）limc”=o时，则对＞0,存在自然数/V],当兄〉",时有比-a＜—"T82（注意如何使用条件lima”=a）n—＞oo（q—q
14、）+（禺一a）++注意到lim——丄一＜——"Too174_切=0,故存在自然数M，当n＞心,时有仏一。）+（。2-。）++（伽一。）VN£<2今取^=max{^,^2},则当n>N,吋有q+6++色d（q-小+仏一Q）++（皱-a）t%i_d,4"+.an~aunnn十n（a】a）+（0a）++（67州Q）+a^~ann+…1n
15、故若limq”=a，则lim也叱十①=aHT8〃一＞8n（2）若limo“=+g,则对WW＞0,存在自然数",当/?＞",时有畀一＞8an＞2M注意到H—NlimL=1"TOOn故存在存在自然数他,当7?＞他,时有M〉丄n2今取7V=ma
16、xW^Nj,则当n>N,时有a{+a2++an>。州+】+°州+2+lim°Z++色十若lim%=0,贝
17、JN—>8J=a71—>00Y若liman=-oo、n->co贝ljlim-cj=+oo,fS故lim（F）+（F）+U=+oo"Too即lim®+$+舁一>8例2已知liman=a,limbn/：->oo/：—>00证明lin/也+°妇+*a血之b"TOO0<证明由limbfl"可知存在B使得对任意bn都有
18、仇
19、vB,（q-。）仇+（色-。）如］++（an-a）b}20、-++Clb._r,z、—（⑦一a）+（a°—a）++（q—a）由liman=a可知lim（a”—a）=0,故lim匚一乙亠一显J―L=（）“T8n->co''n—>co（注意事实limxz/=0<=>lim=0）所以lima®+°2仇_】++a血_a*+a®」++cib、=Q"Toolim/+h+7=ab/I—>00可得lin/心W沁=血?J—>oo例3求极限limf（1-兀3）"dx解对任意—>0,注意到咲I-Ifj=0,故存在自然数N°,当n>N°时有/、3-i-£uJn£对任意1>£〉0,取自然数N=N°,当〃>N时有£(i-x3rdx-o
21、=jj(i-x3r
22、(u+jxi-兀')"dxvJ(：dx+J：(l-2°2yds8<2+£評送+匸評"lim[(1-x3)ndx=0>00J0注类似的例题有limf2sin,?xdxJO解对任意£〉Z、0,注意到limsin苦T>00=0,故存在自然数他），当n>N（）时sin"71£(2丿V£71对任意£〉0,取自然数N=N°,当心N时有£—sin"皿+J化sin"xdx<『石sin"i~2°718t(1¥+U2丿limJ*2sin"xdx=0JO二利用单调有界数列有极限（先证明极限的存在性，再利用题中条件求出极限）例1兔=1,色=1+上亠1+%解：有界性：⑷=1+-<2,设色<2,则=
23、1+^^<1+^^<1+—<221+久2y]ak21+务单调性：显然ax-aQ>0,设ak-ak_x>0,则ak+x-ak=—>0(1+盘)(1+%)求极限：设lima〃，由a”=1+上丄取极限得d=l+"1+勺Ll注当数列以递推方式给出，可以考虑用数学归纳法证明单调性与用界性例2若必=£,几=£-纠~,其中0Kl/=2,3,，证明limy”存在并求222e该极限。证明：1若x=0,则yn=0,贝Ijlim儿存在且limytl=0；界一＞8/?—＞002若OvxSl时，(1)先用数学归纳法证明x,＞0：显然刃＞0,设几＞0,从
