冲刺2019高考数学二轮复习核心考点特色突破专题：16圆锥曲线的基本量问题（含解析）

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1、专题16圆锥曲线的基本量问题【自主热身，归纳总结】1、双曲线－＝1的渐近线方程为________．【答案】：x±2y＝0　把双曲线方程中等号右边的1换为0，即得渐近线方程．该双曲线的渐近线方程为－＝0，即x±2y＝0.2、已知椭圆C的焦点坐标为F1(-4，0)，F2(4，0)，且椭圆C过点A(3，1)，则椭圆C的标准方程为 ．【解析】AF1+AF2=，椭圆C的标准方程为．3、在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C与双曲线x2－＝1有公共的渐近线，且经过点P(－2，)，则双曲线C的焦距为________．【答案】.4　解法1与双曲线x2－＝1有公共的渐

2、近线的双曲线C的方程可设为x2－＝λ，又它经过点P(－2，)，故4－1＝λ，即λ＝3，所以双曲线C的方程为－＝1，故a2＝3，b2＝9，c2＝a2＋b2＝12，c＝2，2c＝4.解法2因为双曲线x2－＝1的渐近线方程为y＝±x，且双曲线C过点P(－2，)，它在渐近线y＝－x的下方，而双曲线C与x2－＝1具有共同的渐近线，所以双曲线C的焦点在x轴上，设所求的双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，从而解得从而c＝2，故双曲线C的焦距为4.4、若方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围是 ．【解析】由，得．【变式2】、已知抛物线x2＝2py(p＞0)

3、的焦点F是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的一个焦点，若P，Q是椭圆与抛物线的公共点，且直线PQ经过焦点F，则该椭圆的离心率为________．【答案】－1　解法1　由抛物线方程可得，焦点为F；由椭圆方程可得，上焦点为(0，c)．故＝c，将y＝c代入椭圆方程可得x＝±.又抛物线通径为2p，所以2p＝＝4c，所以b2＝a2－c2＝2ac，即e2＋2e－1＝0，解得e＝－1.解法2　由抛物线方程以及直线y＝可得，Q.又＝c，即Q(2c，c)，代入椭圆方程可得＋＝1，化简可得e4－6e2＋1＝0，解得e2＝3－2，e2＝3＋2＞1(舍去)，即e＝＝－1(负值舍去)

4、．解后反思本题是典型的在两种曲线的背景下对圆锥曲线的几何性质的考查．这类问题首先要明确不同曲线的几何性质对应的代数表示．本题有两个解法，解法1将直线y＝c与抛物线、椭圆相交所得弦长求出后，利用等量关系求离心率，其所得等量关系比解法2简单．【变式3】、如图，已知过椭圆的左顶点作直线交轴于点，交椭圆于点，若是等腰三角形，且，则椭圆的离心率为.【答案】：思路分析1：由于，故可将Q点的坐标用A，P的坐标表示出来，利用点Q在椭圆上，得到关于的一个等式关系，求出椭圆的离心率。解法1因为是等腰三角形，所以，故，又，所以，由点在椭圆上得，解得，故离心率。思路分析2：

5、由于点Q是直线AP与椭圆的交点，故将直线AP方程与椭圆的方程联立成方程组，求出点Q的坐标，再由得到点Q的坐标，由此得到关于的一个等式关系，求出椭圆的离心率。解法2因为是等腰三角形，所以，故设直线与椭圆方程联立并消去得：，从而，即，又由，得，故，即，故。【关联1】、在平面直角坐标系xOy中，设直线l：x＋y＋1＝0与双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线都相交且交点都在y轴左侧，则双曲线C的离心率e的取值范围是________．【答案】.(1，)　【解析】：双曲线的渐近线为y＝x，y＝－x，依题意有－>－1，即b

6、，所以e的取值范围是(1，)．【关联2】、设点P是有公共焦点F1，F2的椭圆C1与双曲线C2的一个交点，且PF1⊥PF2，椭圆C1的离心率为e1，双曲线C2的离心率为e2，若e2＝3e1，则e1＝________.【关联3】、如图，椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)，圆O：x2＋y2＝b2，过椭圆C的上顶点A的直线l：y＝kx＋b分别交圆O、椭圆C于不同的两点P，Q，设＝λ.(1)若点P(－3,0)，点Q(－4，－1)，求椭圆C的方程；(2)若λ＝3，求椭圆C的离心率e的取值范围．【解析】(1)由P在圆O：x2＋y2＝b2上，得b＝3.又点Q在椭圆C上，得

7、＋＝1，解得a2＝18，所以椭圆C的方程是＋＝1.(5分)(2)解法1由得x＝0或xP＝－.(7分)由得x＝0或xQ＝－.(9分)因为＝λ，λ＝3，所以＝，所以·＝，即·＝，所以k2＝＝4e2－1.因为k2＞0，所以4e2＞1，即e＞，又0＜e＜1，所以＜e＜1.(16分)解法2A(0，b)，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则有x＋y＝b2　①，＋＝1　②.(7分)又因为＝λ，λ＝3，所以＝，即(x1，y1－b)＝(x2，y2－b)．解得x2＝x1，y2＝y1－b，代入②得＋＝1.(9分)又x＝b2－y，消去x整理得2(a2－b2)y－a2by

8、1－b2(a2－2b2)＝0，即[2(a2－b2)y1＋b(a2－2b2)](y1－b)＝0，解得，y1＝或