回归分析相关定义

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1、回归分析是一类数学模型，特别当因变量和自变量为线性关系时，它是一种特殊的线性模型。最简单的情形是一个自变量和一个因变量，且它们大体上有线性关系，这叫一元线性回归，即模型为Y＝a＋bX＋ε，这里X是自变量，Y是因变量，ε是随机误差，一般的情形，有k个自变量和一个因变量，因变量的值可以分解为两部分：一部分是由自变量的影响，即表示为自变量的函数，其中函数形式已知，但含一些未知参数；另一部分是由于其他未被考虑的因素和随机性的影响，即随机误差。当函数形式为未知参数的线性函数时，称线性回归分析模型；当函数形式为未知参数的非线性函数时，称为非线性回归分析模型。　相关分析研究的是现象之间是

2、否相关、相关的方向和密切程度，一般不区别自变量或因变量。而回归分析则要分析现象之间相关的具体形式，确定其因果关系，并用数学模型来表现其具体关系。两个变量之间到底是哪个变量受哪个变量的影响，影响程度如何，则需要通过回归分析方法来确定。一般来说，回归分析是通过规定因变量和自变量来确定变量之间的因果关系，建立回归模型，并根据实测数据来求解模型的各个参数，然后评价回归模型是否能够很好的拟合实测数据；如果能够很好的拟合，则可以根据自变量作进一步预测。R2又称为方程的确定性系数（coefficientofdetermination），表示方程中变量X对Y的解释程度。R2取值在0到1之间

3、，越接近1，表明方程中X对Y的解释能力越强。通常将R2乘以100％来表示回归方程解释Y变化的百分比。F检验是通过方差分析表输出的，通过显著性水平（significantlevel）检验回归方程的线性关系是否显著。一般来说，显著性水平在0.05以下，均有意义。回归分析的步骤根据预测目标，确定自变量和因变量　　明确预测的具体目标，也就确定了因变量。如预测具体目标是下一年度的销售量，那么销售量Y就是因变量。通过市场调查和查阅资料，寻找与预测目标的相关影响因素，即自变量，并从中选出主要的影响因素。建立回归预测模型　　依据自变量和因变量的历史统计资料进行计算，在此基础上建立回归分析方

4、程，即回归分析预测模型。进行相关分析　　回归分析是对具有因果关系的影响因素（自变量）和预测对象（因变量）所进行的数理统计分析处理。只有当变量与因变量确实存在某种关系时，建立的回归方程才有意义。因此，作为自变量的因素与作为因变量的预测对象是否有关，相关程度如何，以及判断这种相关程度的把握性多大，就成为进行回归分析必须要解决的问题。进行相关分析，一般要求出相关关系，以相关系数的大小来判断自变量和因变量的相关的程度。检验回归预测模型，计算预测误差　　回归预测模型是否可用于实际预测，取决于对回归预测模型的检验和对预测误差的计算。回归方程只有通过各种检验，且预测误差较小，才能将回归方

5、程作为预测模型进行预测。计算并确定预测值利用回归预测模型计算预测值，并对预测值进行综合分析，确定最后的预测值。三、一元线性回归模型对于具有线性因果关系的两个变量，由于有随机因素的干扰，两变量的线性关系中应包括随机误差项，即有：（9—3）对于某一确定的值，其对应的值虽有波动，但在大量观察中随机误差的期望值为零，即=0，因而从平均意义上说，总体线性回归方程为：（9—4）上式中，是回归直线的截距项，即为0时的值，从数学意义上理解，它表示在没有自变量的影响时，其它各种因素对因变量的平均影响；是回归系数（直线的斜率），表示自变量每变动一个单位时，因变量平均变动个单位。我们可通过样本观

6、察值计算参数、的估计值，求得参数的估计值后，即求得样本回归方程，用它对总体线性回归方程进行估计。样本回归直线方程又称一元线性回归方程，其表达形式为：(9－5)式中：表示因变量的估计值（回归理论值）；和是待定参数和的估计值。一元线性回归方程中的待定参数是根据样本数据资料估计确定的。确定回归方程就是要找出与的估计值及，使直线总体看来与所有的散点最接近，即确定最优的与，统计学上常采用最小二乘法（Ordinaryleastsquaresestimation,亦称最小平方法）。设样本回归模型为：（9－6）于是有：从式（9－6）可以看出，和取不同值就有不同的样本回归直线，从而有不同的残

7、差。为了保证残差最小，希望接近于0，但由于有个，还必须考虑总体残差最小，又因为可能存在正负相互抵消，最小不能真正表达总体残差最小的思想。故此又想到使最小，但使达到最小，确定参数估计值的计算较为复杂，最终选择普通最小二乘法确定和，就是估计使得所有的估计值与观察值的残差平方和达到最小的参数、即：这就是最小二乘法的基本原理。由于本书旨在介绍该种方法在统计中的应用，故数学推导过程省略,根据最小二乘法原理，利用微积分中求极值的方法，求得、的估计值，（9－7）当、求出后，一元线性回归方程便确定了。单次测量值x1与测定平均值之差