BS期权定价公式87798

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1、Black-Scholes期权定价模型一、Black-Scholes期权定价模型的假设条件Black-Scholes期权定价模型的七个假设条件如下：1.风险资产（Black-Scholes期权定价模型中为股票），当前时刻市场价格为S。S遵循几何布朗运动，即。其中，为均值为零，方差为的无穷小的随机变化值（，称为标准布朗运动，代表从标准正态分布（即均值为0、标准差为1的正态分布）中取的一个随机值），为股票价格在单位时间内的期望收益率，则是股票价格的波动率，即证券收益率在单位时间内的标准差。和都是已知的。简单地分析几何布朗运动，意味着股票价格在短时期内的变动（即收益）来源于两个方

2、面：一是单位时间内已知的一个收益率变化，被称为漂移项，可以被看成一个总体的变化趋势；二是随机波动项，即，可以看作随机波动使得股票价格变动偏离总体趋势的部分。2．没有交易费用和税收，不考虑保证金问题，即不存在影响收益的任何外部因素。3.资产价格的变动是连续而均匀的，不存在突然的跳跃。4.该标的资产可以被自由地买卖，即允许卖空，且所有证券都是完全可分的。5.在期权有效期内，无风险利率保持不变，投资者可以此利率无限制地进行借贷。6．在衍生品有效期间，股票不支付股利。7．所有无风险套利机会均被消除。二、Black-Scholes期权定价模型（一）B-S期权定价公式在上述假设条件的基

3、础上，Black和Scholes得到了如下适用于无收益资产欧式看涨期权的Black-Schole微分方程：其中f为期权价格，其他参数符号的意义同前。通过这个微分方程，Black和Scholes得到了如下适用于无收益资产欧式看涨期权的定价公式：其中，c为无收益资产欧式看涨期权价格；N（x）为标准正态分布变量的累计概率分布函数（即这个变量小于x的概率），根据标准正态分布函数特性，我们有。（二）Black-Scholes期权定价公式的理解1.可看作证券或无价值看涨期权的多头；可看作K份现金或无价值看涨期权的多头。可以证明，。为构造一份欧式看涨期权，需持有份证券多头，以及卖空数量为

4、的现金。Black-Scholes期权定价公式用于不支付股利的欧式看涨期权的定价。注意：该公式只在一定的假设条件下成立，如市场完美（无税、无交易成本、资产无限可分、允许卖空）、无风险利率保持不变、股价遵循几何布朗运动等。2.风险中性定价原理风险中性定价原理：我们可以注意到期权价格是与标的资产的预期收益率无关的。C(S,t)与S、r、t、T、σ以及K有关，而与股票的期望收益率μ无关。这说明欧式Call的价格与投资者的风险偏好无关。在对欧式Call定价时，可假设投资者是风险中性的（对所承担的风险不要求额外回报，所有证券的期望收益率等于无风险利率）。为了更好地理解风险中性定价原理

5、，我们可以举一个简单的例子来说明。假设一种不支付红利股票目前的市价为10元，我们知道在3个月后，该股票价格要么是11元，要么是9元。现在我们要找出一份3个月期协议价格为10.5元的该股票欧式看涨期权的价值。由于欧式期权不会提前执行，其价值取决于3个月后股票的市价。若3个月后该股票价格等于11元，则该期权价值为0.5元；若3个月后该股票价格等于9元，则该期权价值为0。为了找出该期权的价值，我们可构建一个由一单位看涨期权空头和单位的标的股票多头组成的组合。若3个月后该股票价格等于11元时，该组合价值等于（11－0.5）元；若3个月后该股票价格等于9元时，该组合价值等于9元。为了

6、使该组合价值处于无风险状态，我们应选择适当的值，使3个月后该组合的价值不变，这意味着：11－0.5=9，我们解得：=0.25因此，一个无风险组合应包括一份看涨期权空头和0.25股标的股票。无论3个月后股票价格等于11元还是9元，该组合价值都将等于2.25元。在没有套利机会情况下，无风险组合只能获得无风险利率。假设现在的无风险年利率等于10%，则该组合的现值应为：由于该组合中有一单位看涨期权空头和0.25单位股票多头，而目前股票市场为10元，因此：这就是说，该看涨期权的价值应为0.31元，否则就会存在无风险套利机会。三、Black-Scholes期权定价公式的计算Black-

7、Scholes期权定价公式的计算：一个例子为了使读者进一步理解Black-Scholes期权定价模型，我们下面用一个简单的例子，来说明这一模型的计算过程。假设某种不支付红利股票的市价为50元，无风险利率为12%，该股票的年波动率为10%，求该股票协议价格为50元、期限1年的欧式看涨期权和看跌期权价格。在本题中，可以将相关参数表达如下：S＝50，X＝50，r=0.12,σ=0.1,T=1,算出和：计算和：将上述结果及已知条件代入公式，这样，欧式看涨期权价格为：由可以算出欧式看跌期权价格：四、影响欧式看涨期权价格的因素