2018_2019学年高中数学第二章推理与证明2.1.3推理案例赏析学案苏教版选修

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1、2.1.3　推理案例赏析学习目标　1.进一步认识合情推理和演绎推理的作用、特点以及两者之间的紧密联系，利用合情推理和演绎推理进行简单的推理.2.掌握两种推理形式的具体格式．知识点　合情推理与演绎推理思考1　合情推理的结论不一定正确，我们为什么还要学习合情推理？答案　合情推理是富于创造性的或然推理．在数学发现活动中，它为演绎推理确定了目标和方向，具有提出猜想、发现结论、提供思路的作用．思考2　“演绎推理是由一般到特殊的推理，因此演绎推理所得结论一定正确”，这种说法对吗？答案　不对，演绎推理只有在大、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论才一定正确．梳理　合情推

2、理与演绎推理的比较合情推理演绎推理归纳推理类比推理推理形式由部分到整体，由特殊到一般由特殊到特殊一般到特殊结论不一定正确，有待证明在大、小前提和推理形式都正确的前提下，结论一定正确作用猜测和发现结论，探索和提供证明思路证明数学结论，建立数学体系的重要思维过程联系合情推理的的结论需要演绎推理的验证，而演绎推理的方向和思路一般是通过合情推理获得的1．演绎推理的一般模式是“三段论”的形式．(　√　)2．演绎推理得到的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关．(　√　)3．演绎推理是由一般到特殊的推理，归纳推理是由特殊到一般的推理，类比推理是由特殊到特殊的推理．(　√　

3、)13类型一　归纳推理的应用例1　观察如图所示的“三角数阵”：记第n行的第2个数为an(n≥2，n∈N*)，请仔细观察上述“三角数阵”的特征，完成下列各题：(1)第6行的6个数依次为________、________、________、________、________、________；(2)a2＝________，a3＝________，a4＝________，a5＝________；(3)an＋1＝an＋________.答案　(1)6　16　25　25　16　6(2)2　4　7　11(3)n(n≥2，n∈N*)反思与感悟　对于数阵问题的解决方法，既要清楚

4、每行、每列数的特征，又要对上、下行，左、右列间的关系进行研究，找到规律，问题即可迎刃而解．跟踪训练1　下列四个图形中，阴影三角形的个数依次构成一个数列的前4项，则这个数列的一个通项公式为________．答案　an＝3n－1(n∈N*)解析　a1＝1＝30，a2＝3＝31，a3＝9＝32，a4＝27＝33，…，由此猜想an＝3n－1(n∈N*)．类型二　类比推理的应用例2　通过计算可得下列等式：23－13＝3×12＋3×1＋1；33－23＝3×22＋3×2＋1；43－33＝3×32＋3×3＋1；…；13(n＋1)3－n3＝3×n2＋3×n＋1.将以上各等式两边分

5、别相加，得(n＋1)3－13＝3×(12＋22＋…＋n2)＋3×(1＋2＋3＋…＋n)＋n，即12＋22＋32＋…＋n2＝n(n＋1)(2n＋1)(n∈N*)．类比上述求法，请你求出13＋23＋33＋…＋n3的值．解　∵24－14＝4×13＋6×12＋4×1＋1；34－24＝4×23＋6×22＋4×2＋1；44－34＝4×33＋6×32＋4×3＋1；…；(n＋1)4－n4＝4n3＋6n2＋4n＋1.将以上各式两边分别相加，得(n＋1)4－14＝4×(13＋23＋…＋n3)＋6×(12＋22＋…＋n2)＋4×(1＋2＋…＋n)＋n，∴13＋23＋…＋n3＝＝n2(

6、n＋1)2(n∈N*)．反思与感悟　(1)解答类比推理的应用题的关键在于弄清原题解题的方法，将所要求值的式子与原题的条件相类比，从而产生解题方法上的迁移．(2)解答类比推理的应用问题要先弄清两类对象之间的类比关系及其差别，然后进行推测或证明．跟踪训练2　已知在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于D，有＝＋成立．那么在四面体A－BCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，说明猜想是否正确，并给出理由．考点　类比推理的应用题点　平面几何与立体几何之间的类比解　类比AB⊥AC，AD⊥BC，可以猜想在四面体A－BCD中，AB，AC，AD两两垂直，AE⊥平面BCD，则

7、＝＋＋.猜想正确．理由如下：如图所示，连结BE，并延长交CD于F，连结AF.13∵AB⊥AC，AB⊥AD，AC∩AD＝A，∴AB⊥平面ACD.而AF⊂平面ACD，∴AB⊥AF.在Rt△ABF中，AE⊥BF，∴＝＋.在Rt△ACD中，AF⊥CD，∴＝＋.∴＝＋＋，故猜想正确．类型三　演绎推理的综合应用例3　已知椭圆具有性质：若M，N是椭圆＋＝1(a＞b＞0)上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM，PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN时，kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值，试对双曲线－＝1(a＞0，b＞0)写出类似的性质，并加以证明．解　

8、类似性质：若M，N是双曲