函数的连续性的例题与习题

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1、函数的连续性的例题与习题函数连续性这个内容所涉及到的练习与考试题目，大致有3大类。第一类是计算或证明连续性；第二类是对间断点(或区间)的判断，包括间断点的类型；第三类是利用闭区间上的连续函数的几个性质(最值性质，零点存在性质)，进行理论分析。下面就这三大类问题，提供若干例题和习题。还是那句老话：看到题目不要看解答，而是先思考先试着做！这是与看文学小说的最大区别。要提醒的是，例题里有不少是《函数连续性(一)(二)》中没有给出解答的例题，你事先独立做了吗？如果没有做，是不会做好是根本不想做，还是没有时间？一.函数的连续例1.1(例1.20(—)，这个序号值的

2、是《函数连续性(一)屮的例题号，请对照)设f(x)满足/(x+y)=f(x)+f(y),且f(x)在兀=0连续。证明：/(兀)在任意点兀处连续。分析：证明题是我们很多同学的软肋，不知道从何下手。其实，如果你的基本概念比较清晰，证明题要比计算题号做，因为它有明确的方向，不像计算题，不知道正确的答案是什么在本题里，要证的是“/(无)在任意点x处连续”，那么我们就先固定一个点兀，用函数连续的定义来证明在x处连续。你可能要问：函数连续的定义有好几个，用哪一个？这要看己知条件，哪个容易用，就用那一个。在本题中，提供了条件/(X4-y)=f(x)+f(y),也就是f

3、(x+y)-f(x)=f(y),你的脑海里就要想到，如果设y=心，那么就有0=/(x+Ar)-/(x)=/(Ar)；这个时候，你应该立即“闪过”，要用题目给的第二个条件了：/(兀)在x=Q连续！它意味着：lim/(0+ZLy)=/(0)oAa->0证明的思路就此产生！证明：因为/(%+夬彷X，取)=0,则有f(x)=f(x)+/(0),所以/(0)=0o(#)对于固定的x(任意的！)，若取y=Ax,有Ay=f(x+心)—/(x)=/(Ax),(+)(&)在(+)式两边取心TO的极限，那么limAy=lim(/(x+Ax)-/(x))=lim/(Ax),由

4、已知条件:心tO心tO心tO/(兀)在x=0连续，所以lim/(O+Ax)=/(O),代入(#)的结果，就有心一>0lim/(0+Ax)=lim/(Ax)=f(0)=0,Av->0但从(&)知，limAy=lim/(Ax),所以limAy=0o根据函数连续的定义E,/（兀）在任意点兀处连续。你看，证明题并不难吧，但有个前提，必须有清晰的概念。很多同学的数学只会“代公式套题型”,所以做计算题还可能对付一下。其实计算也并不轻松。2〃+1*（_IX_1例1.2（例1.21（—））设常数ghO,f（x）=lim——「——,求/（x）的分段表达式，欲使"一亦"一1

5、/（x）连续，试确定d的值。分析：首先要注意，函数/（兀）不是平常的形式，用一个明显的解析式表达出来，本题用一个极限形式来表示一个函数。所以它要求先写出/（X）的分段表达式，这是本题的第一个任务；第二，要确定参数。的数值，怎么确定呢？利用函数的连续性。这里需要计算极限的基本功。/（兀）中出现了儿个幕函数XW,X2，，,X2，，+1,根据幕函数的性质，兀的大小对幕函数的变化趋势有根本性的影响，所以要分为

6、x

7、

8、x

9、>l,x=l,x=-l进行讨论。所以本题的第一层考核的是对幕函数的认识与理解。（1）

10、%

11、<1：，兀2",严都趋于零（当MTOO时），所以

12、/(兀)=二=1。—1（2）

13、%

14、>1：此时Z；X2x2n+，都将趋于无穷大。为此，要从分子，分母中提出最大项，约去相应严I/(X)=lim——X的部分，來简化函数/（X）：[(di)1)2/7x2rl'1J_„T—XQa1、(3)"1：/(兀)=口4-aa(4)x=-l：/⑴=lim1—Q(—1)"—1lim"TOO—2+(q_1)(_1T—0(—1)"极限不存在。九x>11—G1故得八，x=lfM=a1,I兀1<1X,X<~1欲使/（x）连续，即使f⑴在X=1连续，等价于—=1,故a=~.a2例1.3（例1.22（一））证明连续函数的局部保号性：设

15、/（无）在兀=兀0处连续，且/（X0）>0,那么存在5〉0,当x-xQ<3时,/（%）>0o分析：这个性质公式我们一个事实，若连续函数在某点的函数值为正，那么在这个点附近的点的函数值也是正的，不会取负值。这就是说，连续函数的函数值有“惯性”。证明的过程很容易很简单，其实我们在证明极限的保号性时就已经用过。证明：因为/（兀）在x=处连续，所以对任给的£>0,总存在5〉0,使得当

16、兀—兀

17、<5时，恒有1/（兀）一/（兀0）1<£'也就是一£0）<£。（+）若取^=/（x0）>0,在（+）式中取左边的那个不等式，就有/（X）>（:若取£=

18、丄/（兀）>0,那么就有/（%）>-/（,。（不过，此时的

19、x-x（）

20、