立体几何大题训练及答案解析

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1、ABCDEFPM..1、如图，正方形所在平面与平面四边形所在平面互相垂直，△是等腰直角三角形，（1）线段的中点为，线段的中点为，求证：；（2）求直线与平面所成角的正切值.解：（1）取的中点为，连,,则,面//面,………………………5分(2)先证出面，………………………8分为直线与平面所成角，………………………11分………………………14分ABCDEO2、己知多面体ABCDE中，DE平面ACD，，AC=AD=CD=DE=2，AB=1，O为CD的中点.(1)求证：AO平面CDE；(2)求直线BD与平面CBE所成角的正弦值3、如图，在△中，，，点在上，交于，交于．沿将

2、△翻折成△，使平面平面；沿将△翻折成△，使平面平面．（1）求证：平面；（2）若，求二面角的平面角的正切值．解：（1）因为，平面，所以平面．因为平面平面，且，所以平面．…2分同理，平面，所以，从而平面．…4分所以平面平面，从而平面．…6分（2）因为，，所以，，，．…8分过E作，垂足为M，连结．（第20题）由（1）知，可得，所以，所以．所以即为所求二面角的平面角，可记为．…12分在Rt△中，求得，所以．…15分ABCDEPM4、如图，平面ABC，平面BCD，DE=DA=AB=AC.，M为BC中点.(1)求直线EM与平面BCD所成角的正弦值；(2)P为线段DM上一点，

3、且DM，求证：AP//DE.解：(1)平面，为在平面上的射影，为与平面所成角．……………………2分平面，，设，又，．在△中，，，又为中点，，，．…5分在△中，，．………………………7分（2），为中点，．又平面，，平面．……………………9分又平面，，……………………11分又，平面．……………………13分又平面，．……………………14分5、如图，已知ABCD是边长为1的正方形，AF⊥平面ABCD，CE∥AF，．FEDCBA（1）证明：BD⊥EF；（2）若AF＝1，且直线BE与平面ACE所成角的正弦值为，求的值．解：（1）连结BD、AC，交点为Ｏ．∵ABCD是正方形∴

4、BD⊥AC……2分∵AF⊥平面ABCD∴AF⊥BD……4分∴BD⊥平面ACEF　……6分∴BD⊥EF……7分（2）连结OE，由（1）知，BD⊥平面ACEF，所以∠BEO即为直线BE与平面ACE所成的角．　　　　……10分∵AF⊥平面ABCD，CE∥AF，∴CE⊥平面ABCD，CE⊥BC，∵BC=1，AF＝1，则CE＝，BE＝，BO＝，∴Rt△BEO中，，…13分因为，解得．　　　　　　　　　　　　……15分6、ABCDEA1C1如图，在几何体中，平面ABC，分别是的中点.(1)求证：平面CDE；(2)求二面角的平面角的正切值.解：（1）连接ACR1R交EC于点F

5、，由题意知四边形ACCR1RE是矩形，则F是ACR1R的中点，连接DF，∵D是AB的中点，∴DF是△ABCR1R的中位线，∴BCR1R//DF，4分∵BCR1R平面EDC，DF平面EDC，∴BCR1R//平面CDE.7分(2)作AH⊥直线CD，垂足为H，连接HE，∵AAR1R⊥平面ABC，∴AAR1R⊥DC，∴CD⊥平面AHE，∴CD⊥EH，∴AHE是二面角E–CD–A的平面角.11分∵D是AB的中点，∴AH等于点B到CD的距离，在△BCD中，求得：AH＝，在△AEH中，即所求二面角的正切值为.7、如图，已知平面与直线均垂直于所在平面，且,QPABC（1）求证：

6、平面；（2）若，求与平面所成角的正弦值.解：（1）证明：过点作于点，∵平面⊥平面，∴平面……2分又∵⊥平面∴∥,………………2分又∵平面∴∥平面………………6分（2）∵平面∴，又∵∴∴………………8分∴点是的中点，连结，则∴平面∴∥，∴四边形是矩形………………10分设得：，又∵，∴，从而，过作于点，则：∴是与平面所成角………………………………………………12分∴，∴与平面所成角的正弦值为…………………………14分ABCA1B1C1DE8、如图，在直三棱柱中，是等腰直角三角形，，侧棱AA1=2，D，E分别为CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是的重心.(

7、1)求证：DE//平面ACB；(2)求A1B与平面ABD所成角的正弦值.ABCA1B1C1D9、如图，在侧棱垂直于底面的三棱柱ABC—A1B1C1中，底面△ABC为等腰直角三角形，∠B=90°,D为棱BB1的中点。（1）求证：面DA1C⊥面AA1C1C；（2）若，求二面角A—A1D—C的大小。PABCDM10、如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB//CD，∠DAB=90°，PA=AD=DC=1，AB=2，M为PB的中点．（1）证明：MC//平面PAD；（2）求直线MC与平面PAC所成角的余弦值．ABCDEFGEFCDGP11、如图在梯形中，，、

8、是线段上的两点，且,，,