2018_2019学年高中数学第二讲证明不等式的基本方法二综合法与分析法教案（含解析）

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1、二综合法与分析法1．综合法(1)定义：一般地，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫做综合法，综合法又叫顺推证法或由因导果法．(2)特点：由因导果，即从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．(3)证明的框图表示：用P表示已知条件或已有的不等式，用Q表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为→→→……→2．分析法(1)定义：证明命题时，常常从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做分析法

2、，这是一种“执果索因”的思考和证明方法．(2)特点：执果索因，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”．(3)证明过程的框图表示：用Q表示要证明的不等式，则分析法可用框图表示为→→→……→用综合法证明不等式[例1]　已知a，b，c∈R＋，且互不相等，又abc＝1.求证：＋＋<＋＋.[思路点拨]　本题考查用综合法证明不等式，解答本题可从左到右证明，也可从右到左证明．由左端到右端，应注意左、右两端的差异，这种差异正是我们思考的方向．左端含有根号，脱去根号可通过＝<实现；也可以由右到左证明，按上述思路逆向证明即可．[证明]　法一：∵a，b，c是不等正数，且abc＝1，∴＋

3、＋＝＋＋<＋＋＝＋＋.法二：∵a，b，c是不等正数，且abc＝1，∴＋＋＝bc＋ca＋ab＝＋＋>＋＋＝＋＋.综合法证明不等式，揭示出条件和结论之间的因果联系，为此要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系．合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键．1．已知a，b，c都是实数，求证：a2＋b2＋c2≥(a＋b＋c)2≥ab＋bc＋ca.证明：∵a，b，c∈R，∴a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc.c2＋a2≥2ca，将以上三个不等式相加得：2(a2＋b2＋c2)≥2(ab＋bc＋ca)，①即a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.②在不等式①

4、的两边同时加上“a2＋b2＋c2”得：3(a2＋b2＋c2)≥(a＋b＋c)2，即a2＋b2＋c2≥(a＋b＋c)2.③在不等式②的两端同时加上2(ab＋bc＋ca)得：(a＋b＋c)2≥3(ab＋bc＋ca)，即(a＋b＋c)2≥ab＋bc＋ca.④由③④得a2＋b2＋c2≥(a＋b＋c)2≥ab＋bc＋ca.用分析法证明不等式[例2]　a，b∈R＋，且2c>a＋b.求证：c－

5、a－c

6、<，两边平方得a2－2ac＋c2

7、2ac，即a(a＋b)<2ac.∵a，b∈R＋，且a＋b<2c，∴a(a＋b)<2ac显然成立．∴原不等式成立．(1)当所证不等式与重要不等式、基本不等式没有什么直接联系，或条件与结论之间的关系不明显时，可用分析法来寻找证明途径．(2)分析法证明的关键是推理的每一步都必须可逆．2．求证：＋<2.证明：∵＋>0,2>0，∴要证＋<2.只需证(＋)2<(2)2.展开得10＋2<20.即证2<10，即证21<25(显然成立)．∴＋<2.3．已知x>0，y>0，求证(x2＋y2)>(x3＋y3).证明：要证明(x2＋y2)>(x3＋y3)，只需证(x2＋y2)3>(x3＋y

8、3)2.即证x6＋3x4y2＋3x2y4＋y6>x6＋2x3y3＋y6.即证3x4y2＋3x2y4>2x3y3.∵x>0，y>0，∴x2y2>0.即证3x2＋3y2>2xy.∵3x2＋3y2>x2＋y2≥2xy.∴3x2＋3y2>2xy成立．∴(x2＋y2)>(x3＋y3).综合法与分析法的综合应用[例3]　设a>0，b>0，且a＋b＝1，求证：＋≤.[思路点拨]　所证不等式含有开方运算且两边都为正数，可考虑两边平方，用分析法转化为一个不含开方运算的不等式，再用综合法证明．[证明]　要证＋≤，只需证(＋)2≤6，即证(a＋b)＋2＋2≤6.由a＋b＝1得只需证≤，即

9、证ab≤.由a0，a＋b＝1，得ab≤2＝，即ab≤成立．∴原不等式成立．(1)通过等式或不等式的运算，将待证的不等式化为明显的、熟知的不等式，从而使原不等式易于证明．(2)有些不等式的证明，需要一边分析一边综合，称之为分析综合法，或称“两头挤”法，这种方法充分表明了分析法与综合法之间互为前提，互相渗透，相互转化的辩证统一关系．4．已知a，b，c都是正数，求证：2≤3.证明：要证2≤3，只需证a＋b－2≤a＋b＋c－3，即－2≤c－3.移项，得c＋2≥3.由a，b，c为正数，得c＋2＝c＋＋≥3成立．∴原不等式成立．1．设a＝，b＝－，c＝－，那么a，