数值分析论文正稿

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1、.....数值分析课程总结姓名：吴玉武学号：13121524班级：数研1301目录第一章数值分析的历史背景21、背景22、发展历程3第二章数值积分的主要方法31、牛顿-柯特斯求积公式32、梯形求积公式5（1）梯形公式5（2）复合梯形公式53、辛普森求积公式6（1）辛普森公式6（2）复合辛普森公式64、龙贝格求积公式6（1）算法的基本思想6（2）递推公式75、高斯求积公式7（1）高斯型求积公式7（2）常用的高斯型求积公式76、自适应求积方法87、振荡函数的积分方法88、奇异函数的积分9（1）一个奇异点的函数9（2）多个奇异点的函数积分方法10第三

2、章数值积分的应用10第四章在学习过程中遇到的问题12参考文献14学习参考.....第一章数值分析的历史背景1、背景数值积分方法发展的前提是在17世纪以牛顿和莱布尼茨为首的一批数学家发展起来的微积分。在最初的研究中，求解积分的方法便是找到求解原函数的方法，得到原函数，以此为基础解决其他问题。但是在深入的研究中，逐渐发现一些函数的原函数求解极其困难，甚至无法表示出来，是超越函数，还有的根本没有原函数，比如对于延拓函数：无法求出它的原函数，这时要求它的积分就无法使用牛顿-莱布尼茨公式了，解决积分的问题便受到阻碍。这种情况下就需要寻求一种新的求积分的方

3、法来解决这些问题了。数值积分方法便在数学家们的需求下发展起来。2、发展历程等距节点的多项式插值求积法的观点最早是1676年出现在Newton给Leibniz的一封信中。1711年，Cotes在总结了牛顿的观点后，系统归纳了小于10个节点的插值求积方法，并发表了一篇相关论文。1743年，Simpson发表他所研究的求积方法。但是从历史上看，对于辛普森的方法，数学家Cavalieri和Gregory似乎研究的更早，而且Cotes也早就得到了这种方法。1814年，数学王子Gauss在研究这个问题时，通过优化那些求积节点得到一种更高精度的数值求积分方法

4、，随后便发表了他的第一篇关于数值求积分的论文。时间过了100多年，数学家Fejer于1933年，将Chebyshev点作为节点应用于数值求积分中，得到了一种新的方法。1960年，数学家Clenshaw和Curtis研究得到一种更为高效的数值求积公式。Kronrod在1964学习参考.....年发表了他自己的数值求积方法，4年后的Patterson对这种方法进行了推广，得到的方法也为世人所知。值得一提的是Richardson在1927年发现的外推法，当时并没有用来做数值积分问题。而数学家Romberg在1955年将它应用到数值积分上，取得不小的成

5、果。第二章数值积分的主要方法1、牛顿-柯特斯求积公式设将积分区间划分为等份，步长，选取等距节点构造出的插值型求积公式：称为牛顿—柯特斯(Newton-Cotes)公式，式中柯特斯系数.引进变换，则有由于是多项式的积分，柯特斯系数的计算不会遇到实质性的困难.当n=1时，这时的求积公式就是我们所熟悉的梯形公式.当n＝2时，这时的柯特斯系数为学习参考.....当n＝3时，学习参考.....2、梯形求积公式（1）梯形公式（2）复合梯形公式由于牛顿—柯特斯公式在n8时具有不稳定性，故不可能通过提高阶的方法来提高求积精度。为了提高精度通常可把积分区间分成若

6、干个子区间，再在子区间上用低阶求积公式。当n=1时，就是我们熟悉的梯形公式，在每个子区间(k=0,1,```,n-1)采用梯形公式，则得即复合梯形公式为3、辛普森求积公式（1）辛普森公式当n=2时，就是辛普森公式如下：（2）复合辛普森公式在每个子区间上采用辛普森公式就得：学习参考.....即复合辛普森公式为4、龙贝格求积公式（1）算法的基本思想复化梯形公式的线性组合可得到复化Simpson公式，而复化Simpson公式通常优于复化梯形公式；进一步计算，复化Simpson公式的线性组合是复化Cotes公式，而复化Cotes公式一般优于Simpso

7、n公式。将复化Cotes公式作线性组合称为Romberg公式。可以猜想，Romberg公式应优于复化Cotes公式。按照这种方法做下去，将预期得到收敛很好的计算公式，这就是Romberg求积公式的基本思想。（2）递推公式令为将区间等分的梯形值；为将区间等分的Simpson值；为将区间等分的Cotes值；为将区间等分的Romberg值。有如下递推关系：学习参考.....由递推公式，可以得到Romberg求积法。5、高斯求积公式（1）高斯型求积公式求积公式含有待定参数适当选择这些参数使其具有次代数精度.这类求积公式称为高斯型求积公式.Guass求积

8、公式的节点是高斯点,系数称为Guass系数.对于任意次数不超过的多项式均能准确成立称其为带权的高斯公式.（2）常用的高斯型求积公式名称高斯-勒让德高斯